交叉熵函数对输入的梯度怎么计算
时间: 2024-05-22 19:16:07 浏览: 43
假设交叉熵函数为 $L$,输入为 $x$,标签为 $y$,则交叉熵函数的定义为:
$$L(x, y) = -\sum_{i} y_i \log(x_i)$$
其中,$i$ 表示类别的索引,$y_i$ 表示样本的真实标签,$x_i$ 表示模型预测的概率值。对于每个类别,梯度的计算方式如下:
$$\frac{\partial L}{\partial x_i} = -\frac{y_i}{x_i}$$
这个梯度可以通过链式法则来计算模型参数的梯度,具体地,假设模型参数为 $\theta$,则模型参数的梯度可以表示为:
$$\frac{\partial L}{\partial \theta} = \frac{\partial L}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta}$$
其中,$\frac{\partial L}{\partial x}$ 可以根据上述公式计算,$\frac{\partial x}{\partial \theta}$ 是模型的反向传播过程中计算的梯度。
相关问题
pytorch中交叉熵函数的输入
PyTorch中的交叉熵函数`torch.nn.CrossEntropyLoss()`一般用于分类问题的损失函数计算。该函数的输入包括两个参数:模型预测值和真实标签。
具体来说,模型预测值通常是一个形状为(batch_size, num_classes)的矩阵,其中每一行表示一个样本对应各个类别的预测概率值。真实标签通常是一个形状为(batch_size,)的向量,其中每个元素表示一个样本的真实类别标签,取值范围是0到num_classes-1。
示例代码如下:
```python
import torch.nn as nn
# 模型预测值,假设batch_size=3,num_classes=5
pred = torch.randn(3, 5)
# 真实标签,假设batch_size=3,num_classes=5
target = torch.tensor([2, 0, 4])
# 定义交叉熵损失函数
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
# 计算损失
loss = criterion(pred, target)
```
在上述代码中,`pred`是模型预测值,`target`是真实标签,`nn.CrossEntropyLoss()`定义了交叉熵损失函数,`loss`是计算得到的损失值。
利用定义证明交叉熵函数是凸函数
首先,我们来定义交叉熵函数。设$p$和$q$是定义在相同的离散或连续随机变量上的两个概率分布,则$p$和$q$的交叉熵函数为:
$$H(p,q)=-\sum_{x}p(x)\log q(x)$$
或者
$$H(p,q)=-\int_{-\infty}^{\infty}p(x)\log q(x)dx$$
现在我们证明交叉熵函数是凸函数。为了证明交叉熵函数是凸函数,我们需要证明对于所有的$p$和$q$,以及$0\leq\lambda\leq1$,都有:
$$H(p,\lambda q+(1-\lambda)r)\leq\lambda H(p,q)+(1-\lambda)H(p,r)$$
其中,$r$是另一个概率分布。
我们从定义出发,对$\lambda$进行展开:
$$\begin{aligned} H(p,\lambda q+(1-\lambda)r) &= -\sum_{x}p(x)\log [\lambda q(x)+(1-\lambda)r(x)] \\ &\leq -\sum_{x}p(x)[\lambda\log q(x)+(1-\lambda)\log r(x)] \\ &= \lambda H(p,q)+(1-\lambda)H(p,r) \end{aligned}$$
这里,我们使用了Jensen不等式,它告诉我们,对于凸函数$f$,有:
$$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$
因为负对数是凸函数,所以$-\log$也是凸函数。因此,交叉熵函数是凸函数。