有限补拓扑空间的收敛序列

设 $(X,\tau)$ 是一个有限补拓扑空间，即 $X$ 中的任意无限子集都是不开的。我们来证明任意收敛于 $x\in X$ 的序列 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 都是常值序列。

因为 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 收敛于 $x$，所以对于任意 $U\in\tau$，存在 $N\in\mathbb{N}$，使得当 $n\geq N$ 时，$x_n\in U$。我们考虑下面两种情况：

1. 当 $x\in U$ 时，因为 $U$ 是一个开集，所以存在 $m\in\mathbb{N}$，使得 $x_m\in U$。又因为 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 收敛于 $x$，所以存在 $N_1\in\mathbb{N}$，使得当 $n\geq N_1$ 时，$x_n\in U$。取 $N=\max\{m,N_1\}$，则当 $n\geq N$ 时，$x_n\in U$。由于 $U$ 的任意性，我们得到 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是常值序列，即存在 $k\in\mathbb{N}$，使得 $x_n=x_k$ 对于任意 $n\in\mathbb{N}$。

2. 当 $x\notin U$ 时，因为 $X\setminus U$ 是一个开集，且 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 收敛于 $x$，所以存在 $N_2\in\mathbb{N}$，使得当 $n\geq N_2$ 时，$x_n\in X\setminus U$。又因为 $X\setminus U$ 不包含 $x$，所以 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 中只有有限个元素属于 $X\setminus U$。因此，我们可以取 $N=\max\{N_2,k\}$，其中 $k$ 是满足 $x_n=x_k$ 对于任意 $n\in\mathbb{N}$ 的那个 $k$。当 $n\geq N$ 时，$x_n\in U$，即 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是常值序列。

综上所述，任意收敛于 $x\in X$ 的序列 $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 都是常值序列。