求函数z=x4-8xy+2y2-3的极值点和极值。

首先，我们需要求出函数的一阶偏导数和二阶偏导数：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 - 8y$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = -8x + 4y$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 12x^2$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 4$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -8$$

接下来，我们要找到所有一阶偏导数为零的点，也就是满足以下方程组的点：

$$\begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x} = 0\\ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \end{cases}$$

将偏导数带入上式得到：

$$\begin{cases} 4x^3 - 8y = 0\\ -8x + 4y = 0 \end{cases}$$

解这个方程组得到：

$$\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$$

因此，唯一的极值点是 $(0,0)$。

接下来，我们需要判断这个极值点是极大值还是极小值，或者是鞍点。为此，我们需要计算二阶偏导数。在 $(0,0)$ 处，二阶偏导数矩阵为：

$$H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -8 \\ -8 & 4 \end{bmatrix}$$

计算 $H$ 的特征值得到 $\lambda_1 = 4$ 和 $\lambda_2 = -4$。由于 $\lambda_1 > 0$，$\lambda_2 < 0$，因此 $(0,0)$ 是一个鞍点。

综上所述，函数 $z=x^4-8xy+2y^2-3$ 的唯一极值点是 $(0,0)$，它是一个鞍点。