短时傅里叶变换原理及公式

短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform, STFT)是一种常用的信号处理技术，它可以将信号在时间上分段，并在每段内进行傅里叶变换，从而得到信号在时频域上的分布。具体可以通过以下公式来表示：

STFT(t, \omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)w(\tau-t)e^{-j\omega \tau}d\tau

其中，x(t)是原始信号，w(t)是窗函数，t表示当前窗口的起始时间，\omega表示当前频率。

STFT的基本思想是将原始信号x(t)分为若干个长度为T的时间段，每个时间段进行傅里叶变换，得到时频域上的信号表示。这里的窗函数w(t)用于控制时间段的长度和形状，常见的窗函数有矩形窗、汉明窗、海宁窗等。

STFT的优点是能够在时频域上分析信号，适用于非平稳信号的处理，但缺点是时间分辨率和频率分辨率不能同时得到很好的保证，而且窗函数的选择也会对分析结果产生影响。

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快速傅里叶变换(fft)的原理及公式

快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的离散傅里叶变换（DFT）算法，用于将一个信号从时域转换到频域。它的原理基于分治算法，将一个长度为N的DFT分解为N个长度为1的DFT，然后递归地将这些小的DFT合并成一个大的DFT。这种分解与合并的过程可以使用蝴蝶算法（Butterfly Algorithm）来实现。

FFT的公式为：

$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-i2\pi kn/N}$$

其中，$x_n$ 是原始信号的第n个采样点的值，$X_k$ 是变换后的频域系数，$i$ 是虚数单位，$k$ 是频域的索引，$N$ 是采样点的总数。这个公式可以用来计算离散傅里叶变换（DFT）。

但是，直接计算这个公式的时间复杂度是$O(N^2)$，当$N$很大时，计算的时间会非常长。而FFT算法可以将计算时间降至$O(N\log N)$，因此被广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。

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其中，$x_n$ 是原始信号的第n个采样点的值，$X_k$ 是变换后的频域系数，$i$ 是虚数单位，$k$ 是频域的索引，$N$ 是采样点的总数。这个公式可以用来计算离散傅里叶变换（DFT）。

但是，直接计算这个公式的时间复杂度是$O(N^2)$，当$N$很大时，计算的时间会非常长。而FFT算法可以将计算时间降至$O(N\log N)$，因此被广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。