出几道机器学习决策树的大题并给出答案

好的，下面是几道机器学习决策树的大题：

1. 假设有一个数据集 D，包含 4 个样本，每个样本有 3 个特征，如下所示：

| 特征1 | 特征2 | 特征3 | 标签 |
|-------|-------|-------|------|
| 1 | 0 | 1 | 是 |
| 1 | 1 | 0 | 是 |
| 0 | 1 | 1 | 否 |
| 0 | 0 | 1 | 否 |

请根据 ID3 算法构建决策树。

答案：首先计算出数据集的信息熵，得到 H(D) = -2/4 * log2(2/4) - 2/4 * log2(2/4) = 1。然后计算出各个特征的信息增益，得到 IG(特征1) = 1 - (2/4 * (-1/2 * log2(1/2) - 1/2 * log2(1/2)) + 2/4 * (-1/2 * log2(1/2) - 1/2 * log2(1/2))) = 0，IG(特征2) = 1 - (2/4 * (-1/2 * log2(1/2) - 1/2 * log2(1/2))) = 0.5，IG(特征3) = 1 - (2/4 * (-1/2 * log2(1/2) - 1/2 * log2(1/2)) + 2/4 * (-1 * log2(1))) = 0.311。因此选择信息增益最大的特征作为根节点，即特征2。将数据集按照特征2分为两部分，得到如下两个子数据集：

子数据集1：

| 特征1 | 特征2 | 特征3 | 标签 |
|-------|-------|-------|------|
| 1 | 1 | 0 | 是 |
| 0 | 1 | 1 | 否 |

子数据集2：

| 特征1 | 特征2 | 特征3 | 标签 |
|-------|-------|-------|------|
| 1 | 0 | 1 | 是 |
| 0 | 0 | 1 | 否 |

对于子数据集1，因为所有样本的标签都是“是”，所以可以直接将该节点标记为“是”。对于子数据集2，选择信息增益最大的特征作为子节点，即特征1。将子数据集2按照特征1分为两部分，得到如下两个子数据集：

子数据集3：

| 特征1 | 特征2 | 特征3 | 标签 |
|-------|-------|-------|------|
| 1 | 0 | 1 | 是 |

子数据集4：

| 特征1 | 特征2 | 特征3 | 标签 |
|-------|-------|-------|------|
| 0 | 0 | 1 | 否 |

对于子数据集3，因为所有样本的标签都是“是”，所以可以直接将该节点标记为“是”。对于子数据集4，因为所有样本的标签都是“否”，所以可以直接将该节点标记为“否”。因此构建出的决策树如下：

特征2
├── 1: 是
└── 0: 特征1
    ├── 1: 是
    └── 0: 否

2. 假设有一个数据集 D，包含 5 个样本，每个样本有 2 个特征，如下所示：

| 特征1 | 特征2 | 标签 |
|-------|-------|------|
| 1 | 0 | 否 |
| 1 | 1 | 是 |
| 0 | 1 | 否 |
| 0 | 0 | 否 |
| 1 | 0 | 是 |

请根据 CART 算法构建决策树。

答案：首先计算出数据集的基尼指数，得到 G(D) = 1 - (2/5)^2 - (3/5)^2 = 0.48。然后计算出各个特征的基尼指数，得到 G(特征1) = 0.4，G(特征2) = 0.48。因此选择基尼指数最小的特征作为根节点，即特征1。将数据集按照特征1分为两部分，得到如下两个子数据集：

子数据集1：

| 特征1 | 特征2 | 标签 |
|-------|-------|------|
| 1 | 0 | 否 |
| 1 | 1 | 是 |
| 1 | 0 | 是 |

子数据集2：

| 特征1 | 特征2 | 标签 |
|-------|-------|------|
| 0 | 1 | 否 |
| 0 | 0 | 否 |

对于子数据集1，选择基尼指数最小的特征作为子节点，即特征2。将子数据集1按照特征2分为两部分，得到如下两个子数据集：

子数据集3：

| 特征1 | 特征2 | 标签 |
|-------|-------|------|
| 1 | 0 | 否 |

子数据集4：

| 特征1 | 特征2 | 标签 |
|-------|-------|------|
| 1 | 1 | 是 |
| 1 | 0 | 是 |

对于子数据集3，因为所有样本的标签都是“否”，所以可以直接将该节点标记为“否”。对于子数据集4，选择基尼指数最小的特征作为子节点，即特征2。将子数据集4按照特征2分为两部分，得到如下两个子数据集：

子数据集5：

| 特征1 | 特征2 | 标签 |
|-------|-------|------|
| 1 | 1 | 是 |

子数据集6：

| 特征1 | 特征2 | 标签 |
|-------|-------|------|
| 1 | 0 | 是 |

对于子数据集5，因为所有样本的标签都是“是”，所以可以直接将该节点标记为“是”。对于子数据集6，因为所有样本的标签都是“是”，所以可以直接将该节点标记为“是”。因此构建出的决策树如下：

特征1
├── 1: 特征2
│   ├── 1: 是
│   └── 0: 否
└── 0: 否