针对$\beta_1 =0 \beta_2 = 1$ Wald联合检验python代码

假设我们有一个线性回归模型：$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \epsilon_i$，其中$y_i$是因变量，$x_{i1}$和$x_{i2}$是两个自变量，$\epsilon_i$是误差项。

我们的假设为：$H_0: \beta_1=0, \beta_2=1$，$H_1:$不成立。

我们可以使用Wald检验来检验这个假设。Wald检验的思想是计算检验统计量，然后将其与Wald分布进行比较。

Python代码如下：

import numpy as np
from scipy.stats import chi2

# 构造数据
np.random.seed(0)
x1 = np.random.normal(0, 1, 100)
x2 = np.random.normal(0, 1, 100)
y = 2 + 3 * x1 + x2 + np.random.normal(0, 1, 100)

# 拟合线性回归模型
X = np.column_stack((np.ones(100), x1, x2))
beta_hat = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)

# 计算残差方差估计值
y_hat = X.dot(beta_hat)
mse = np.sum((y - y_hat) ** 2) / (100 - 3)

# 计算Wald检验统计量
R = np.array([0, 1, 0, -1]).reshape((2, 2))
q = np.array([0, 1]).reshape((2, 1))
W = (R.dot(beta_hat - q) ** 2 / (R.dot(np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(R.T)) * mse)).sum()

# 计算p-value
p_value = 1 - chi2.cdf(W, 2)

print('Wald检验统计量：', W)
print('p-value：', p_value)

其中，$R$和$q$是构造的限制矩阵和限制向量，分别对应$H_0$中的$\beta_1=0$和$\beta_2=1$。Wald检验统计量为$W=\frac{(R\hat{\beta}-q)^T(R(X^TX)^{-1}R^T)^{-1}(R\hat{\beta}-q)}{\hat{\sigma}^2}$，其中$\hat{\sigma}^2$是残差方差估计值，$\hat{\beta}$是模型的系数估计值。

最后，我们可以计算出Wald检验统计量和p-value，来判断假设是否成立。