2yy'-(y^2)/x=-x解微分方程，使用伯努利公式法求解

给定微分方程 2yy' - (y^2)/x = -x，我们可以使用 Bernoulli 公式来解决它。

首先，我们将方程重写为：

y' - (y/x) = -(1/2)x/y

然后，我们将 Bernoulli 公式应用于该方程。设 v = y^(1-2) = 1/y，那么：

v' = -(1-2)y^(-3)y' = -(1-2)(1/y)^3y' = (2-y)/y^3

现在，我们可以将原方程转化为一个线性微分方程：

v' + (1/x)v = -(1/2)x

这是一个一阶齐次线性微分方程，我们可以使用常数变易法来求解它。首先，我们求出其对应的齐次方程的通解：

v_h = C/x

然后，我们猜测一个特解为 v_p = Ax + B，将其代入原方程中，得到：

A = -1/2, B = 1/4

因此，特解为 v_p = (-1/2)x + 1/4，于是通解为：

v = v_h + v_p = C/x - (1/2)x + 1/4

最后，根据 v = 1/y，我们可以得到 y 的通解：

y = 4x/(2Cx - x^2 + 2)

其中 C 为任意常数。