树状数组 java_树状数组详解

树状数组（Fenwick Tree）是一种用于快速维护数组前缀和的数据结构。它可以在 $O(\log n)$ 的时间内完成单点修改和前缀查询操作，比线段树更加简洁高效。

下面是 Java 实现的树状数组详解：

首先，在 Java 中我们需要使用数组来表示树状数组，如下：

int[] tree;

接着，我们需要实现两个基本操作：单点修改和前缀查询。

单点修改的实现如下：

void update(int index, int value) {
    while (index < tree.length) {
        tree[index] += value;
        index += index & -index;
    }
}

该函数的参数 `index` 表示要修改的位置，`value` 表示修改的值。在函数内部，我们使用了一个 `while` 循环不断向上更新树状数组中相应的节点，直到到达根节点为止。具体来说，我们首先将 `tree[index]` 加上 `value`，然后将 `index` 加上其最后一位为 1 的二进制数，这样就可以更新其父节点了。例如，当 `index` 为 6 时，其二进制表示为 110，最后一位为 2^1，加上后变为 111，即 7，这样就可以更新节点 7 了。

前缀查询的实现如下：

int query(int index) {
    int sum = 0;
    while (index > 0) {
        sum += tree[index];
        index -= index & -index;
    }
    return sum;
}

该函数的参数 `index` 表示要查询的前缀的结束位置，即查询 $[1, index]$ 的和。在函数内部，我们同样使用了一个 `while` 循环不断向前查询树状数组中相应的节点，直到到达 0 为止。具体来说，我们首先将 `sum` 加上 `tree[index]`，然后将 `index` 减去其最后一位为 1 的二进制数，这样就可以查询其前一个节点了。例如，当 `index` 为 6 时，其二进制表示为 110，最后一位为 2^1，减去后变为 100，即 4，这样就可以查询节点 4 的值了。

最后，我们还需要初始化树状数组，将其全部置为 0。初始化的实现如下：

void init(int[] nums) {
    tree = new int[nums.length + 1];
    for (int i = 1; i <= nums.length; i++) {
        update(i, nums[i - 1]);
    }
}

该函数的参数 `nums` 表示初始数组的值。在函数内部，我们首先创建一个长度为 `nums.length + 1` 的数组 `tree`，然后逐个将 `nums` 中的元素插入到树状数组中。具体来说，我们调用 `update(i, nums[i - 1])` 来将 `nums[i - 1]` 插入到树状数组的第 `i` 个位置。

到此为止，我们就完成了树状数组的实现。可以看到，树状数组的代码比线段树要简洁很多，而且效率也更高。