反向传播之中Jacobian-vector product是什么,用公式详细说明
时间: 2023-04-07 11:00:49 浏览: 76
Jacobian-vector product是指在反向传播算法中,计算某个向量对于神经网络输出的梯度的过程。具体来说,假设我们有一个神经网络模型$f(x)$,其中$x$是输入,$y=f(x)$是输出。我们想要计算某个向量$v$对于输出$y$的梯度,即$\frac{\partial y}{\partial v}$。这个梯度可以通过Jacobian矩阵$J$和向量$v$的乘积来计算,即$\frac{\partial y}{\partial v}=Jv$。在反向传播算法中,我们需要计算许多这样的梯度,因此Jacobian-vector product是一个非常重要的计算过程。
具体来说,Jacobian矩阵$J$的每一行对应于输出$y$中的一个元素,每一列对应于输入$x$中的一个元素。因此,$J$的大小为$N_y \times N_x$,其中$N_y$是输出$y$的维度,$N_x$是输入$x$的维度。Jacobian-vector product的计算过程可以通过链式法则来推导。假设我们已经计算出了某个中间变量$z$对于输出$y$的梯度$\frac{\partial z}{\partial y}$,以及$z$对于输入$x$的梯度$\frac{\partial z}{\partial x}$。那么,根据链式法则,我们可以得到$v$对于输入$x$的梯度$\frac{\partial v}{\partial x}$,即$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial z}$。这个式子可以进一步化简为$\frac{\partial v}{\partial x}=J^T\frac{\partial v}{\partial y}$,其中$J^T$是$J$的转置矩阵。因此,Jacobian-vector product可以通过先计算$\frac{\partial v}{\partial y}$,然后再乘以$J^T$来得到。