输出给定序列按字典序的 r 组合，按照所有 n 个元素出现与否的 01 标记串 xnxn − 1, ..., x1 的字典序输出

给定序列按字典序的 r 组合，可以通过生成所有长度为 r 的组合，再按字典序排序得到。具体做法可以使用递归实现，每次选择一个元素，然后在剩余元素中选择 r-1 个元素，直到选择完 r 个元素。代码实现如下：

def combinations(arr, r):
    if r == 0:
        yield []
    elif len(arr) == r:
        yield arr
    else:
        for i in range(len(arr)):
            for c in combinations(arr[i+1:], r-1):
                yield [arr[i]] + c

对于所有 n 个元素出现与否的 01 标记串 xnxn − 1, ..., x1 的字典序输出，可以直接遍历 0 到 2^n-1，将每个数转化为二进制后补齐到 n 位，然后按照字典序输出即可。代码实现如下：

def binary_combinations(n):
    for i in range(2**n):
        bin_str = bin(i)[2:].rjust(n, '0')
        yield [int(x) for x in bin_str]

将两个函数结合起来，就可以实现按字典序输出给定序列按字典序的 r 组合了。

相关问题

用c++实现，输出给定序列按字典序的 r 组合，按照所有 n 个元素出现与否的 01 标记串 xnxn − 1, ..., x1 的字典序输出

以下是用 C++ 实现的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

void combinations(vector<int>& arr, int r, vector<vector<int>>& result, vector<int>& temp, int start) {
    if (r == 0) {
        result.push_back(temp);
    } else {
        for (int i = start; i <= arr.size() - r; i++) {
            temp.push_back(arr[i]);
            combinations(arr, r-1, result, temp, i+1);
            temp.pop_back();
        }
    }
}

void binary_combinations(int n, vector<vector<int>>& result) {
    for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {
        vector<int> bin_str;
        int num = i;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            bin_str.push_back(num % 2);
            num /= 2;
        }
        reverse(bin_str.begin(), bin_str.end());
        result.push_back(bin_str);
    }
}

int main() {
    // 输出给定序列按字典序的 r 组合
    vector<int> arr = {1, 2, 3, 4};
    int r = 2;
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> temp;
    combinations(arr, r, result, temp, 0);
    for (auto& comb : result) {
        for (int x : comb) {
            cout << x << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    // 按照所有 n 个元素出现与否的 01 标记串 xnxn-1,...,x1 的字典序输出
    int n = 3;
    vector<vector<int>> bin_result;
    binary_combinations(n, bin_result);
    for (auto& bin_str : bin_result) {
        for (int x : bin_str) {
            cout << x << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

其中 `combinations` 函数用于输出给定序列按字典序的 r 组合，`binary_combinations` 函数用于按照所有 n 个元素出现与否的 01 标记串 xnxn-1,...,x1 的字典序输出。两个函数的结果都存储在 `result` 向量中，可以通过遍历 `result` 向量输出结果。

请用中文回答这道题： Let Xn ={1,2,...} be a sequence of independent random variables P ( Xn =0)=2/3, P ( Xn =1)=1/3. Let Yn =】= Xi .( a ) Find the first order p . f . of Yn . ( b ) Find uy ( n ), Ry ( n , n + k ) and Cy ( n , n + k ).

好的，让我来回答这个问题。这道题给出了一个无限长的随机变量序列Xn，其中Xn是一个取值为0或1的离散随机变量，取0的概率为2/3，取1的概率为1/3。同时，定义Yn为X1到Xn的和。现在有两个问题：

(a) 求Yn的一阶概率函数。

(b) 求Yn的均值、自协方差和自相关函数。

对于第一个问题，我们可以通过计算概率的方式得到Yn的一阶概率函数。因为Xn是独立同分布的，所以Yn也是一个独立同分布的随机变量，可以通过对Xn的概率分布进行卷积得到Yn的概率分布。具体来说，如果我们定义P(Yn=k)表示Yn等于k的概率，那么有：

P(Yn=k) = P(X1+X2+...+Xn=k)

= ∑ P(X1+X2+...+Xn=k|Xn=i)P(Xn=i)

= P(X1+X2+...+Xn-1=k)P(Xn=0) + P(X1+X2+...+Xn-1=k-1)P(Xn=1)

= P(Yn-1=k) * 2/3 + P(Yn-1=k-1) * 1/3

= (2/3)P(Yn-1=k) + (1/3)P(Yn-1=k-1)

因此，Yn的一阶概率函数为：

P(Yn=k) = (2/3)P(Yn-1=k) + (1/3)P(Yn-1=k-1)，其中P(Y0=0)=1。

对于第二个问题，我们需要计算Yn的均值、自协方差和自相关函数。首先，由于Xn的期望为1/3，所以Yn的期望为n/3。其次，我们有：

Ry(n,n+k) = E[(Yn-E(Yn))(Yn+k-E(Yn))]

= E[YnYn+k] - E[Yn]E[Yn+k]

= E[X1X2...XnXn+1...Xn+k] - (n/3)(n/3+k)

= E[X1X2...Xn]E[Xn+1...Xn+k] - (n/3)(n/3+k)

= (1/3)^n * (2/3)^k * (1/3)^k * C(n,k) - (n/3)(n/3+k)

其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。最后，我们可以通过Ry(n,n+k)计算出Cy(n,n+k)，即：

Cy(n,n+k) = Ry(n,n+k) / Ry(n,n) = [(1/3)^k * C(n,k) - (n/3)(n/3+k)] / (n/9)