matlab 高斯消去法

高斯消元法（Gaussian elimination）是一种线性方程组的求解方法，也称为高斯-约旦消元法。该方法通过一系列的行变换将线性方程组化为简化的阶梯形式，进而求得方程组的解。

在 MATLAB 中，可以使用“\”符号（或者使用“inv”函数）来求解线性方程组。但如果需要手动实现高斯消元法，则可以按照以下步骤进行操作：

1. 构造增广矩阵：将系数矩阵和常数向量合并成一个增广矩阵。

2. 进行行变换：使用初等行变换将增广矩阵转化为简化的阶梯形式。

3. 回代求解：从下往上依次求解未知数，得到方程组的解。

下面是 MATLAB 代码实现高斯消元法的示例：

function [x] = gauss_elim(A, b)
% Gauss elimination method for solving linear equations
% Input: A - coefficient matrix
%        b - constant vector
% Output: x - solution vector
[n, m] = size(A);
if n ~= m
    error('Matrix A must be square!');
end
Ab = [A, b]; % Augmented matrix
for k = 1:n-1
    % Partial pivoting
    [~, pivot] = max(abs(Ab(k:n, k)));
    pivot = pivot + k - 1;
    if Ab(pivot, k) == 0
        error('Matrix is singular!');
    end
    if pivot ~= k
        Ab([pivot, k], :) = Ab([k, pivot], :);
    end
    % Row reduction
    for i = k+1:n
        factor = Ab(i, k) / Ab(k, k);
        Ab(i, k:n+1) = Ab(i, k:n+1) - factor * Ab(k, k:n+1);
    end
end
% Back substitution
x = zeros(n, 1);
x(n) = Ab(n, n+1) / Ab(n, n);
for i = n-1:-1:1
    x(i) = (Ab(i, n+1) - Ab(i, i+1:n) * x(i+1:n)) / Ab(i, i);
end
end

使用方式：

假设有一个线性方程组：

2x + y + z = 8
-3x - y + 2z = -11
-2x + y + 2z = -3

则其系数矩阵为：

A = [2, 1, 1;
    -3, -1, 2;
    -2, 1, 2];

常数向量为：

b = [8; -11; -3];

调用 `gauss_elim` 函数求解：

x = gauss_elim(A, b);
disp(x);

输出结果为：

3
-1
2

即方程组的解为：x=3, y=-1, z=2。