空间点到直线垂足坐标的解算及C++实现

空间中点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 到直线 $l$ 的垂足 $H$ 坐标的计算方法如下：

1. 求直线 $l$ 的方向向量 $\vec{d}$。
2. 求出点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$。
3. 设直线上任意一点为 $Q$，则 $\vec{PQ}$ 与 $\vec{d}$ 垂直，即 $\vec{PQ} \cdot \vec{d} = 0$。由此可以求出 $Q$ 的坐标。
4. 点 $H$ 为点 $Q$ 在直线 $l$ 上的投影点，可用向量表示为 $\vec{OH} = \vec{OQ} - \frac{\vec{OQ} \cdot \vec{d}}{\vec{d} \cdot \vec{d}}\vec{d}$，其中 $\vec{O}$ 为直线上的任意一点。

下面是实现代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

struct Point {
    double x, y, z;
};

struct Line {
    Point p; // 直线上一点
    Point v; // 方向向量
};

double dist(Point p, Line l) {
    Point q;
    double t = ((p.x-l.p.x)*l.v.x + (p.y-l.p.y)*l.v.y + (p.z-l.p.z)*l.v.z) / (l.v.x*l.v.x + l.v.y*l.v.y + l.v.z*l.v.z);
    q.x = l.p.x + t * l.v.x;
    q.y = l.p.y + t * l.v.y;
    q.z = l.p.z + t * l.v.z;
    return sqrt((p.x-q.x)*(p.x-q.x) + (p.y-q.y)*(p.y-q.y) + (p.z-q.z)*(p.z-q.z));
}

Point projection(Point p, Line l) {
    Point q, h;
    double t = ((p.x-l.p.x)*l.v.x + (p.y-l.p.y)*l.v.y + (p.z-l.p.z)*l.v.z) / (l.v.x*l.v.x + l.v.y*l.v.y + l.v.z*l.v.z);
    q.x = l.p.x + t * l.v.x;
    q.y = l.p.y + t * l.v.y;
    q.z = l.p.z + t * l.v.z;
    h.x = q.x - (q.x-l.p.x)*l.v.x/(l.v.x*l.v.x+l.v.y*l.v.y+l.v.z*l.v.z);
    h.y = q.y - (q.y-l.p.y)*l.v.y/(l.v.x*l.v.x+l.v.y*l.v.y+l.v.z*l.v.z);
    h.z = q.z - (q.z-l.p.z)*l.v.z/(l.v.x*l.v.x+l.v.y*l.v.y+l.v.z*l.v.z);
    return h;
}

int main() {
    Point p = {1, 2, 3};
    Line l = {{0, 0, 0}, {1, 1, 1}};
    Point h = projection(p, l);
    cout << "垂足坐标：" << h.x << " " << h.y << " " << h.z << endl;
    cout << "距离：" << dist(p, l) << endl;
    return 0;
}

其中 `Point` 结构体表示点的坐标，`Line` 结构体表示直线上一点和方向向量。`dist` 函数计算点到直线的距离，`projection` 函数计算点到直线的垂足坐标。