理论力学静定与超静定题目

理论力学中，静定是指力学系统中，给定的约束条件和外力条件下，可以唯一确定系统的平衡位置和平衡状态。而超静定是指力学系统中，给定的约束条件和外力条件下，系统的平衡位置和平衡状态不止一个。

下面分别举一个静定问题和一个超静定问题的例子。

1. 静定问题

在平面内，一根弹性绳的一端固定在原点，另一端系着一个质量为 $m$ 的物体，并且弹性绳的长度为 $l$。求物体在弹性绳竖直向下的平衡位置。

解：由于弹性绳是伸长的，所以物体受到向上的弹性力和向下的重力两个力的作用。根据静力平衡条件，这两个力的合力必须为零，即

$$kx - mg = 0$$

其中 $k$ 是弹性绳的劲度系数，$x$ 是弹性绳伸长的长度。根据胡克定律，$kx$ 就是弹性绳受力的大小，因此上式可以写成

$$kx = mg$$

解出 $x=\frac{mg}{k}$，即物体在弹性绳竖直向下 $x=\frac{mg}{k}$ 处处于平衡位置。

2. 超静定问题

在平面内，有一根弹性绳的一端固定在原点，另一端系着两个质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的物体，并且弹性绳的长度为 $l$。求物体在弹性绳竖直向下的平衡位置。

解：由于弹性绳是伸长的，所以物体受到向上的弹性力和向下的重力两个力的作用。设物体 $m_1$ 在竖直方向上的位移为 $x_1$，物体 $m_2$ 在竖直方向上的位移为 $x_2$，则有

$$\begin{cases}k(x_2-x_1)-m_1g=0 \\ k(x_1+x_2-l)-m_2g=0\end{cases}$$

其中 $k$ 是弹性绳的劲度系数。这是一个含有两个未知量 $x_1$ 和 $x_2$ 的方程组，因此需要额外的条件才能解出 $x_1$ 和 $x_2$ 的值。

一个常用的方法是假设 $m_1$ 在竖直方向上的位移为 $x$，则 $m_2$ 在竖直方向上的位移为 $l-x$。代入上述方程组可以解得

$$x=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \cdot \frac{gl}{k}$$

因此，在弹性绳竖直向下 $x=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \cdot \frac{gl}{k}$ 的位置，物体 $m_1$ 和 $m_2$ 可以同时保持平衡。需要注意的是，这个位置不是唯一的。