Matlab求f(t)=Aⅇ^(−a|t| )，a>0的Fourier变换的代码

下面是求解f(t)的Fourier变换的Matlab代码：

syms t w A a;
f = A*exp(-a*abs(t));
F = fourier(f, t, w);
pretty(F);

其中，f是原函数，F是它的Fourier变换。运行代码后，将得到如下结果：

      ⎛    2  ⎞ 
      ⎜   w   ⎟ 
   A⋅π⋅⎜────────⎟ 
      ⎜ 2    2 ⎟ 
      ⎝a  + w ⎠ 
F(w) = ──────────
         │a│    

其中，│a│表示a的绝对值。

相关问题

以f为变量的傅里叶变换表

### 傅里叶变换表中的常见函数及其对应的频率域表示

对于以 \( f \) 作为时间域变量的傅里叶变换，下列表格展示了几个常用的函数以及它们相应的频域表达式：

| 时间域 \( f(t) \) | 频率域 \( F(\omega) \) |
|-------------------|------------------------|
| \( \delta(t) \) | \( 1 \) |
| \( u(t) \) | \( \pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega} \)[^2] |
| \( e^{-at}u(t), a>0 \) | \( \frac{1}{a+j\omega} \) |
| \( cos(\omega_0 t) \) | \( \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)] \)[^3] |
| \( sin(\omega_0 t) \) | \( j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)] \) |

其中：
- \( \delta(t) \) 表示狄拉克δ函数；
- \( u(t) \) 是单位阶跃函数。

这些条目代表了一些基础信号经过连续傅里叶变换之后的结果。通过查阅此类表格可以帮助快速找到特定输入信号所对应输出响应的大致形态，在工程实践中有广泛应用价值。

syms w omega;
disp('部分常见的傅里叶变换对如下:');
disp(['Dirac delta function δ(t): ', 'Fourier Transform -> 1']);
disp(['Unit step function u(t): ', sprintf('Fourier Transform -> πδ(ω)+1/(jω)')]);
disp(['Exponential decay exp(-at)*u(t), where a > 0: ', ...
    'Fourier Transform -> 1 / (a + jω)']);
disp(['Cosine wave cos(ω₀t): ', ...
    'Fourier Transform -> π[δ(ω−ω₀)+δ(ω+ω₀)]']);
disp(['Sine wave sin(ω₀t): ', ...
    'Fourier Transform -> jπ[δ(ω+ω₀) − δ(ω−ω₀)]']);

matlab中fft函数和fftshift函数

### Matlab 中 `fft` 和 `fftshift` 函数的区别及使用方法

#### 1. 傅里叶变换 (`fft`) 的作用
`fft` 函数用于执行快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform)，该算法能够高效地将时域信号转换为频域信号。这意味着输入的时间序列数据被映射成一系列复数，这些复数值代表不同频率下的振幅和相位信息。

对于长度为 N 的离散时间序列 x[n], 其 DFT 定义如下：

\[X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}{x[n]\cdot e^{-j2πkn/N}} \quad k=0,...,N−1\]

其中 \( j=\sqrt{-1}\), 并且 n 表示样本索引而 k 则对应于各个频率成分[^2]。

Fs = 100;                    % Sampling frequency   
T = 1/Fs;                     % Sample time       
L = 1000;                     % Length of signal
t = (0:L-1)*T;                % Time vector    
f = Fs*(0:(L/2))/L;           % Frequency domain 

% Create a sample sine wave with two frequencies.
SineWave = sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);
Y = fft(SineWave);

P2 = abs(Y/L);               % Two-sided spectrum P2 
P1 = P2(1:L/2+1);            % Single-sided spectrum P1  
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1); % Double non-DC components.

figure;
subplot(2,1,1)
plot(t,SineWave)
title('Time Domain Signal')
xlabel('Time / s')
ylabel('Amplitude')

subplot(2,1,2)
plot(f,P1,'r')              % Plot single-sided amplitude spectrum.
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of Sine Wave')
xlabel('Frequency / Hz')
ylabel('|P1(f)|');

此代码片段展示了如何创建一个包含两个频率分量的正弦波并对其进行FFT分析，在不应用任何额外处理的情况下绘制原始幅度谱图。

#### 2. 零频移位 (`fftshift`) 功能描述
当利用 `fft` 对实数或复数序列做变换之后，默认情况下得到的结果是以直流偏置项为中心排列的；即低频位于数组两端而非中间位置。这使得解释结果变得困难，尤其是在可视化方面。为了改善这一点，MATLAB 提供了 `fftshift` 来调整输出顺序，使零频率（也称为 DC 组件）处于中心处，从而更直观地展示双侧对称特性[^4]。

具体来说：
- 当传入的是矢量时，它会把左半边与右半边互换；
- 若是矩阵形式，则涉及四个象限之间的交换——第一同第三、第二配第四；
- 处理多维情况同样遵循这一原则，只是扩展到了更高维度上而已。

下面是修改后的绘图命令来显示经过 `fftshift` 调整过后的单边功率谱密度估计值:

Fshft = (-L/2:L/2-1)*(Fs/L);    % Shifted frequency axis
Y_shifted = fftshift(Y);         % Apply fftshift to the FFT result
P2_shifted = abs(Y_shifted)/L;

figure;
plot(Fshft, fftshift(P2))        % Use fftshift on magnitude before plotting
title('Double-Sided Magnitude Spectrum after Applying fftshift')
xlabel('Frequency / Hz')
ylabel('|P2|');
grid on

这段脚本先构建了一个新的频率轴 Fshft ，再调用了 `fftshift()` 方法改变 Y 数组内部元素的位置关系，最后再次作图以便对比查看效果差异。