hdu 2829 lawrence 斜率优化dp

### 回答1：
hdu 2829 Lawrence 斜率优化dp

这道题是一道经典的斜率优化dp题目，需要用到单调队列的思想。

题目大意是给定一个序列a，求出一个序列b，使得b[i]表示a[1]~a[i]中的最小值，且满足b[i] = min{b[j] + (i-j)*k}，其中k为给定的常数。

我们可以将上式拆开，得到b[i] = min{b[j] - j*k} + i*k，即b[i] = i*k + min{b[j] - j*k}，这个式子就是斜率优化dp的形式。

我们可以用单调队列来维护min{b[j] - j*k}，具体思路如下：

1. 首先将第一个元素加入队列中。

2. 从第二个元素开始，我们需要将当前元素加入队列中，并且需要维护队列的单调性。

3. 维护单调性的方法是，我们从队列的末尾开始，将队列中所有大于当前元素的元素弹出，直到队列为空或者队列中最后一个元素小于当前元素为止。

4. 弹出元素的同时，我们需要计算它们对应的斜率，即(b[j]-j*k)/(j-i)，并将这些斜率与当前元素的斜率比较，如果当前元素的斜率更小，则将当前元素加入队列中。

5. 最后队列中的第一个元素就是min{b[j] - j*k}，我们将它加上i*k就得到了b[i]的值。

6. 重复以上步骤直到处理完所有元素。

具体实现可以参考下面的代码：

### 回答2：
HDU 2829 Lawrence 斜率优化 DP 是一道经典的斜率优化 DP 题目，其思想是通过维护一个下凸包来优化 DP 算法。下面我们来具体分析一下这道题目。

首先，让我们看一下该题目的描述。题目给定一些木棒，要求我们将这些木棒割成一些给定长度，且要求每种长度的木棒的数量都是一样的，求最小的割枝次数。这是一个典型的背包问题，而且在此基础上还要求每种长度的木棒的数量相同，这就需要我们在状态设计上走一些弯路。

我们来看一下状态的定义。定义 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个木棒中正好能割出 $j$ 根长度为 $c_i$ 的木棒的最小割枝次数。对于每个 $dp[i][j]$，我们可以分类讨论：

1. 不选当前的木棒，即 $dp[i][j]=dp[i-1][j]$；
2. 选当前的木棒，即 $dp[i][j-k]=dp[i-1][j-k]+k$，其中 $k$ 是 $j/c_i$ 的整数部分。

现在问题再次转化为我们需要在满足等量限制的情况下，求最小的割枝次数。可以看出，这是一个依赖于 $c_i$ 的限制。于是，我们可以通过斜率优化 DP 来解决这个问题。

我们来具体分析一下斜率优化 DP 算法的思路。我们首先来看一下动态规划的状态转移方程 $dp[i][j]=\min\{dp[i-1][k]+x_k(i,j)\}$。可以发现，$dp[i][j]$ 的最小值只与 $dp[i-1][k]$ 和 $x_k(i,j)$ 有关。其中，$x_k(i,j)$ 表示斜率，其值为 $dp[i-1][k]-k\times c_i+j\times c_i$。

接下来，我们需要维护一个下凸包，并通过斜率进行优化。我们具体分析一下该过程。假设我们当前要计算 $dp[i][j]$。首先，我们需要找到当前点 $(i,j)$ 在凸包上的位置，即斜率最小值的位置。然后，我们根据该位置的斜率计算 $dp[i][j]$ 的值。接下来，我们需要将当前点 $(i,j)$ 加入到下凸包上。

我们在加入点的时候需要注意几点。首先，我们需要将凸包中所有斜率比当前点小的点移除，直到该点能够加入到凸包中为止。其次，我们需要判断该点是否能够加入到凸包中。如果不能加入到凸包中，则直接舍弃。最后，我们需要保证凸包中斜率是单调递增的，这就需要在加入新的点之后进行上一步操作。

以上就是该题目的解题思路。需要注意的是，斜率优化 DP 算法并不是万能的，其使用情况需要根据具体的问题情况来确定。同时，该算法中需要维护一个下凸包，可能会增加一些算法的复杂度，建议和常规 DP 算法进行对比，选择最优的算法进行解题。

### 回答3：
斜率优化DP是一种动态规划优化算法，其主要思路是通过对状态转移方程进行变形，提高算法的时间复杂度。HDU2829 Lawrence问题可以用斜率优化DP解决。

首先，我们需要了解原问题的含义。问题描述如下：有$n$个人在数轴上，第$i$个人的位置为$A_i$，每个人可以携带一定大小的行李，第$i$个人的行李重量为$B_i$，但是每个人只能帮助没有他们重量大的人搬行李。若第$i$个人搬运了第$j$个人的行李，那么第$i$个人会累加$C_{i,j}=\left|A_i-A_j\right|\cdot B_j$的体力消耗。求$m$个人帮助每个人搬运行李的最小体力消耗。

我们可以通过斜率优化DP解决这个问题。记$f_i$为到前$i$个人的最小体力消耗，那么状态转移方程为：

$$f_i=\min_{j<i}\{f_j+abs(A_i-A_j)\cdot B_i\}$$

如果直接使用该方程，时间复杂度为$O(n^2)$，如果$n=10^4$，则需要计算$10^8$次，运算时间极长。斜率优化DP通过一些数学推导将方程变形，将时间复杂度降低到$O(n)$，大大缩短了计算时间。

通过斜率优化DP的推导式子，我们可以得到转移方程为：

$$f_i=\min_{j<i}\{f_j+slope(j,i)\}$$

其中，$slope(j,i)$表示直线$j-i$的斜率。我们可以通过如下方式来求解$slope(j,i)$：

$$slope(j,i)=\frac{f_i-f_j}{A_i-A_j}-B_i-B_j$$

如果$slope(j,i)\leq slope(j,k)$，那么$j$一定不是最优，可以直接舍去，降低计算时间。该算法的时间复杂度为$O(n)$。

综上所述，斜率优化DP是一种动态规划优化算法，可以大大缩短计算时间。在处理类似HDU2829 Lawrence问题的时候，斜率优化DP可以很好地解决问题。