求 s = (12^1)+(32^2)+(5*2^3)+...+((2n-1)*2^n) 的 求和公式
时间: 2023-11-12 15:06:56 浏览: 32
我们可以将每一项拆开,得到:
s = 1*2^2 + 3*2^4 + 5*2^6 + ... + (2n - 1)*2^(2n)
然后,我们可以对每一项进行变形:
1*2^2 = 2^2
3*2^4 = 2^4 + 2^4 + 2^4
5*2^6 = 2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6
可以看出,每一项都可以拆成若干个相同的 2 的次幂之和。而且,对于第 k 项,它可以拆成 k 个 2 的 (2k-2) 次幂之和。
因此,我们可以得到:
s = 2^2 + (2^4 + 2^4 + 2^4) + (2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6 + 2^6) + ... + (2^(2n) + 2^(2n) + ... + 2^(2n))
= 2^2 + 3*2^4 + 5*2^6 + ... + (2n-1)*2^(2n)
现在,我们需要求出每一项的系数。对于第 k 项,它的系数为 k。因此,原式可化为:
s = 1*2^2 + 3*2^4 + 5*2^6 + ... + (2n - 1)*2^(2n)
= 1*2^2 + 2*2^4 + 3*2^6 + ... + n*2^(2n)
= 2^2 + 2^4 + 2^6 + ... + 2^(2n) + 2*2^4 + 2*2^6 + ... + 2*2^(2n) + ... + n*2^(2n)
= (2^2 + 2^4 + 2^6 + ... + 2^(2n)) + 2*(2^4 + 2^6 + ... + 2^(2n)) + ... + n*2^(2n)
= 2^2*(1 + 2^2 + 2^4 + ... + 2^(2n-2)) + 2^4*(1 + 2^2 + 2^4 + ... + 2^(2n-4)) + ... + 2^(2n)*(1)
我们知道,1 + 2^2 + 2^4 + ... + 2^(2n-2) = (2^2n - 1) / 3。因此,原式可进一步化简为:
s = 2^2*(2^(2n-2) - 1)/3 + 2^4*(2^(2n-4) - 1)/3 + ... + 2^(2n)*(1)/3
= (4/3)*(2^(2n+1) - 2)/3
因此,s 的求和公式为 (4/3)*(2^(2n+1) - 2)/3。