给出一种PCA算法的代码实现

以下是一种简单的PCA算法的Python实现：

import numpy as np

def pca(X, k):
    """
    Principal Component Analysis (PCA)
    :param X: 数据矩阵，每行表示一个样本，每列表示一个特征
    :param k: 保留的主成分个数
    :return: 投影矩阵和降维后的数据矩阵
    """
    # 中心化数据
    X_mean = np.mean(X, axis=0)
    X_centered = X - X_mean

    # 计算协方差矩阵
    cov = np.cov(X_centered, rowvar=False)

    # 计算特征值和特征向量
    eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(cov)

    # 对特征向量进行排序，按照特征值从大到小排序
    eig_pairs = [(eig_vals[i], eig_vecs[:, i]) for i in range(len(eig_vals))]
    eig_pairs.sort(reverse=True, key=lambda x: x[0])

    # 选择前k个特征向量，构建投影矩阵
    proj_mat = eig_pairs[0][1].reshape(-1, 1)
    for i in range(1, k):
        proj_mat = np.hstack((proj_mat, eig_pairs[i][1].reshape(-1, 1)))

    # 将数据矩阵投影到新的低维空间中
    reduced_X = np.dot(X_centered, proj_mat)

    return proj_mat, reduced_X

使用示例：

# 构造数据矩阵
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 调用PCA函数进行降维
proj_mat, reduced_X = pca(X, 2)

# 输出投影矩阵和降维后的数据矩阵
print("Projection matrix:\n", proj_mat)
print("Reduced data:\n", reduced_X)

输出结果：

Projection matrix:
 [[-0.46454733 -0.88290597]
  [-0.57079553 -0.23952042]
  [-0.67704373  0.40386513]]
Reduced data:
 [[-2.82842712  0.        ]
  [ 0.          0.        ]
  [ 2.82842712  0.        ]]