证明最长公共子序列问题是NP完全问题

证明最长公共子序列问题是NP完全问题的一种方法是通过演示其是NP问题并且它可以用已知的NP完全问题进行多项式时间归约。

首先，我们证明最长公共子序列问题是NP问题。给定一个字符串S和T以及一个整数k，我们可以轻松地验证是否存在一个长度大于等于k的公共子序列。我们只需要检查S和T中是否存在长度大于等于k的公共子序列，如果存在则返回"是"，否则返回"否"。因此，最长公共子序列问题是NP问题。

接下来，我们证明最长公共子序列问题可以被归约到一个已知的NP完全问题，例如3-SAT。我们可以使用以下的归约：

给定一个3-SAT公式，我们可以将每个变量表示为一个二进制字符串，并将每个子句表示为两个二进制字符串（每个变量一个）。然后，我们可以将每个子句的两个二进制字符串连接起来，得到一个长度为6的二进制字符串。这个新的字符串表示了一个子句是否为真。接下来，我们将所有子句的二进制字符串连接起来，得到一个长度为6m的二进制字符串，其中m是子句的数量。最后，我们将这个二进制字符串与原始的两个字符串S和T连接起来，形成一个新的问题实例。

如果原始的3-SAT公式有一个解，则我们可以将每个变量的二进制字符串设置为相应的值，并将每个子句的二进制字符串设置为1，使得新的字符串中存在一个长度为6m的公共子序列。相反，如果存在一个长度大于等于6m的公共子序列，则我们可以从中提取出每个子句的二进制字符串，并且如果至少有一个子句的二进制字符串是1，则相应的变量为真。因此，这个新的问题实例有一个长度为6m的公共子序列当且仅当原始的3-SAT公式有一个解。

由于3-SAT是NP完全问题，因此最长公共子序列问题可以在多项式时间内归约到3-SAT问题，因此最长公共子序列问题是NP完全问题。