Kramers-Kronig关系的数学公式

Kramers-Kronig关系是一组数学公式，用于将实部和虚部之间的关系联系起来。在光学中，它们通常用于描述光的吸收和散射性质。下面是Kramers-Kronig关系的数学公式：

实部与虚部的关系：

$$
\operatorname{Re}[f(\omega)]=\frac{2}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\omega^{\prime} \operatorname{Im}[f(\omega^{\prime})]}{\omega^{\prime 2}-\omega^{2}} d \omega^{\prime}
$$

虚部与实部的关系：

$$
\operatorname{Im}[f(\omega)]=-\frac{2}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\omega^{\prime} \operatorname{Re}[f(\omega^{\prime})]}{\omega^{\prime 2}-\omega^{2}} d \omega^{\prime}
$$

其中，$f(\omega)$是一个复函数，它的实部是一个关于频率$\omega$的实函数，虚部是一个关于频率$\omega$的虚函数。$\mathcal{P}$是柯西主值积分符号，它表示在积分中需要采用柯西主值的方式来计算。

这些公式可以用于将一个物理量的实部和虚部之间的关系转换为另一个物理量的实部和虚部之间的关系。在光学中，它们通常用于将吸收光谱转换为折射率光谱，或者将折射率光谱转换为吸收光谱。