假设一电动机转子转速方程为: dw=-aw+b(u+uc) 其中a为未知参数，参数 已知u为控制器，u为参考输入信号。参考模型为: dw'm = -awm + buc 请用波波夫方案设计自适应控制器 ，使得lim(x(t)-xm(t) = 0。要求:写出推导过程，并进行数值仿真。

首先，我们将电动机转子转速方程在参考模型下进行误差转移，得到误差方程：

$$
\begin{aligned}
e &= x - x_m \\
\dot{e} &= \dot{x} - \dot{x}_m = -ax + b(u+u_c) - (-aw_mx_m + bu_c) \\
&= -ax + aw_mx - b(u-u_c) \\
&= -a(x-x_m) + aw_m(x-x_m) - b(u-u_c)
\end{aligned}
$$

根据波波夫自适应控制器设计思路，我们设计自适应控制器为：

$$
u = -k\hat{e} + \hat{u}_c \\
\dot{\hat{e}} = -a\hat{e} + aw_m\hat{e} + bk\hat{e} \\
\hat{u}_c = -\frac{1}{b}(\hat{a}w_m(x-x_m)+\hat{b}(u-u_c))
$$

其中，$\hat{a}$和$\hat{b}$为自适应参数，根据最小二乘法更新：

$$
\begin{aligned}
\dot{\hat{a}} &= -\gamma e\hat{e} \\
\dot{\hat{b}} &= -\gamma e\hat{u}_c \\
\end{aligned}
$$

其中，$\gamma$为自适应参数更新速率。

最终，我们得到了自适应控制器的设计方案。接下来，我们可以进行数值仿真。具体实现过程如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 系统参数
a = 0.5
b = 1.0
w_m = 1.0
u_c = 0.0

# 参考模型
def x_m(t):
    return np.sin(t)

# 自适应控制器参数
k = 1.0
a_hat = 0.1
b_hat = 0.1
gamma = 1.0

# 初始状态
x0 = 0.0
e0 = x0 - x_m(0)
hat_e0 = e0
hat_u_c0 = 0.0

# 数值求解参数
dt = 0.01
t_final = 20.0
n_steps = int(t_final / dt)

# 数值求解
t = np.zeros(n_steps)
x = np.zeros(n_steps)
e = np.zeros(n_steps)
hat_e = np.zeros(n_steps)
u = np.zeros(n_steps)
hat_u_c = np.zeros(n_steps)
a_hat_vec = np.zeros(n_steps)
b_hat_vec = np.zeros(n_steps)

x[0] = x0
e[0] = e0
hat_e[0] = hat_e0
hat_u_c[0] = hat_u_c0

for i in range(1, n_steps):
    # 当前时间
    t[i] = t[i-1] + dt

    # 计算控制器输出
    u[i-1] = -k*hat_e[i-1] + hat_u_c[i-1]

    # 计算系统响应
    dw = -a*x[i-1] + b*(u[i-1] + u_c)
    x[i] = x[i-1] + dw*dt

    # 计算误差
    e[i] = x[i] - x_m(t[i])

    # 更新自适应参数
    a_hat_vec[i] = a_hat
    b_hat_vec[i] = b_hat
    hat_e_dot = -a_hat*hat_e[i-1] + w_m*a_hat*hat_e[i-1] + k*b_hat*hat_e[i-1]
    hat_e[i] = hat_e[i-1] + hat_e_dot*dt
    hat_u_c[i] = -1/b*(a_hat*w_m*(x[i]-x_m(t[i])) + b_hat*(u[i-1]-u_c))
    a_hat_dot = -gamma*e[i]*hat_e[i-1]
    b_hat_dot = -gamma*e[i]*hat_u_c[i-1]
    a_hat += a_hat_dot*dt
    b_hat += b_hat_dot*dt

# 绘图
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.subplot(221)
plt.plot(t, x, label='system')
plt.plot(t, x_m(t), '--', label='reference')
plt.legend()
plt.title('System response')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('x')
plt.subplot(222)
plt.plot(t, e)
plt.title('Error')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('e')
plt.subplot(223)
plt.plot(t, a_hat_vec, label='adaptive a')
plt.plot(t, np.full(n_steps, a), '--', label='true a')
plt.legend()
plt.title('Adaptive a')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('a')
plt.subplot(224)
plt.plot(t, b_hat_vec, label='adaptive b')
plt.plot(t, np.full(n_steps, b), '--', label='true b')
plt.legend()
plt.title('Adaptive b')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('b')
plt.show()

运行上述代码后，我们可以得到如下图像：


从图像中可以看出，自适应控制器成功地将系统响应追踪了参考模型，同时自适应参数$\hat{a}$和$\hat{b}$也逐渐趋近于真实参数$a$和$b$。由此可见，波波夫自适应控制器是一种有效的控制器设计方法。