偏微分方程第三类边界条件如何用差分法表示

对于偏微分方程的第三类边界条件，我们需要将其转化为差分格式才能在计算机上进行数值求解。一般来说，第三类边界条件可以分为以下两种情况：

1. 一维情况

对于一维情况，假设我们有一个区间 $[a,b]$，且其两端点 $a$ 和 $b$ 分别为第三类边界条件。设 $u(x)$ 为该区间内的某个函数，$h$ 为网格步长，$x_i=a+ih$，$i=0,1,\cdots,N$，$N$ 为网格数，则有：

$$
\begin{cases}
u(a)=f_1,\\
u(b)=f_2,
\end{cases}
$$

其中 $f_1$ 和 $f_2$ 分别为两个已知函数。将 $u(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 处分别进行泰勒展开，则有：

$$
u(a+h)=u(a)+hu'(a)+\frac{h^2}{2}u''(a)+O(h^3),
$$

$$
u(b-h)=u(b)-hu'(b)+\frac{h^2}{2}u''(b)+O(h^3).
$$

将上述式子代入偏微分方程，得到：

$$
\frac{u(a+h)-u(a)}{h}=\frac{u(b)-2u(a)+u(a+h)}{h^2}+f(a),
$$

$$
\frac{u(b-h)-u(b)}{h}=\frac{u(b-h)-2u(b)+u(a)}{h^2}+f(b),
$$

其中 $f(x)$ 是偏微分方程右侧的函数。整理上述两个式子，即可得到边界点处的差分方程。

2. 二维情况

对于二维情况，假设我们有一个矩形区域 $\Omega=[a,b]\times[c,d]$，且其四条边分别为第三类边界条件。设 $u(x,y)$ 为该区域内的某个函数，$h$ 为网格步长，$x_i=a+ih$，$y_j=c+jh$，$i,j=0,1,\cdots,N$，$N$ 为网格数，则有：

$$
\begin{cases}
u(x,c)=f_1(x),&a\leq x\leq b,\\
u(x,d)=f_2(x),&a\leq x\leq b,\\
u(a,y)=f_3(y),&c\leq y\leq d,\\
u(b,y)=f_4(y),&c\leq y\leq d,
\end{cases}
$$

其中 $f_1(x),f_2(x),f_3(y),f_4(y)$ 分别为四个已知函数。将 $u(x,y)$ 在四条边上进行泰勒展开，则有：

$$
\begin{aligned}
u(x,y+h)&=u(x,y)+hu_y(x,y)+\frac{h^2}{2}u_{yy}(x,y)+O(h^3),\\
u(x,y-h)&=u(x,y)-hu_y(x,y)+\frac{h^2}{2}u_{yy}(x,y)+O(h^3),\\
u(x+h,y)&=u(x,y)+hu_x(x,y)+\frac{h^2}{2}u_{xx}(x,y)+O(h^3),\\
u(x-h,y)&=u(x,y)-hu_x(x,y)+\frac{h^2}{2}u_{xx}(x,y)+O(h^3).
\end{aligned}
$$

将上述式子代入偏微分方程，得到：

$$
\frac{u(x,y+h)-2u(x,y)+u(x,y-h)}{h^2}+\frac{u(x+h,y)-2u(x,y)+u(x-h,y)}{h^2}+f(x,y)=0.
$$

整理上述式子，即可得到边界点处的差分方程。