请统计某个给定范围[L,R]的所有整数中，数字x出现的次数。 比如给定范围[2,22]，x=2：数字2在该范围内一共出现了6次。java使用数位 DP实现

数位 DP 是一种基于动态规划的算法，用来解决数位相关问题。在这个问题中，我们可以先对 L 和 R 进行预处理，计算出它们的数位长度 lenL 和 lenR，以及各个数位上的数字 digitL 和 digitR。然后，我们可以从最高位开始，枚举当前数位上的数字，并计算出在该数位上数字 x 出现的次数。

具体地，我们可以定义 dp[i][j][k] 表示当前处理到第 i 位（从高到低），已经确定的前缀为 j，当前数字是否达到上界（0 表示未达到，1 表示已经达到），并且 x 在前 i 位中出现了 k 次的方案数。注意到 k 的范围最大只有 lenR，因此可以使用记忆化搜索或者动态规划来实现。

状态转移方程为：

dp[i][j + d * p][k + (d == x ? 1 : 0)] += dp[i - 1][j][k]

其中 d 表示当前数位上的数字，p 表示当前数位的权值（10 的幂），j + d * p 表示加上当前数位后得到的数，k + (d == x ? 1 : 0) 表示加上当前数位后 x 出现的次数。初始状态为 dp[lenR][0][0] = 1，最终答案为 dp[lenL - 1][0][0]。

Java 代码实现如下：

相关问题

请统计某个给定范围[L,R]的所有整数中，数字x出现的次数。 比如给定范围[2,22]，x=2：数字2在该范围内一共出现了6次。java实现

思路：

对于每一个数字，可以通过不断地对10取余和除10来判断该数字中是否包含目标数字x。如果包含，则计数器加1。

代码实现：

public static int countNum(int x, int L, int R) {
int count = 0;
for (int i = L; i <= R; i++) {
int num = i;
while (num > 0) {
if (num % 10 == x) {
count++;
}
num /= 10;
}
}
return count;
}

调用方式：

int count = countNum(2, 2, 22);
System.out.println(count); // 输出6

请统计某个给定范围[l, r]的所有整数中，数字2出现的次数

### 回答1：
这个问题可以通过数位DP来解决。

我们可以将数字拆分成若干位，然后从高位到低位依次考虑每一位上数字2出现的次数。

具体来说，我们可以设f[i][j]表示考虑到第i位，当前数字为j时，数字2出现的次数。其中i的范围是[1, k]，j的范围是[0, 9]。

我们可以通过以下转移来计算f[i][j]：

1. 如果j < 2，则f[i][j] = f[i-1][j] * 10 + 10^(i-1)。

这个转移表示如果当前位上的数字小于2，那么前面的数字可以任意填，而当前位上的数字只能填0~j-1，因此我们需要将前面的数字乘以10，然后再加上当前位上数字为0~j-1时数字2出现的次数。

2. 如果j = 2，则f[i][j] = f[i-1][j] * 10 + l%(10^(i-1)) + 1。

这个转移表示如果当前位上的数字为2，那么前面的数字可以任意填，而当前位上的数字可以填0~2，因此我们需要将前面的数字乘以10，然后再加上当前位上数字为0~2时数字2出现的次数。注意，我们还需要加上l%(10^(i-1))+1，表示当前位上数字为2时，l到r范围内的数字中，最高位到第i位的数字可以任意填，而第i+1位及以后的数字必须与r相同，因此我们需要将l%(10^(i-1))+1加上。

3. 如果j > 2，则f[i][j] = f[i-1][j] * 10 + 10^(i-1)。

这个转移表示如果当前位上的数字大于2，那么前面的数字可以任意填，而当前位上的数字只能填0~9，因此我们需要将前面的数字乘以10，然后再加上当前位上数字为0~9时数字2出现的次数。

最终的答案就是f[k][9]-f[k][0]，表示考虑到第k位时，所有数字中数字2出现的次数。

时间复杂度

这个算法的时间复杂度是O(logr)，其中r是给定范围的右端点。

### 回答2：
此题可以采用数位DP的思想，将数字转化为字符串，按位枚举，具体实现步骤如下：

首先，我们需要计算出每一位上数字2出现的次数。假设当前枚举到第i位，数字范围是[0， 9]，我们需要先算出2出现在这一位的次数cnt，其中有以下几种情况：

1. 若当前位的数字小于2，则2只能出现在更高位，此时2出现的次数等于更高位数的取值*当前位数位数，即 cnt += (high * digit)；
2. 若当前位的数字等于2，则2既可以出现在更高位，也可以出现在更低位，此时2出现的次数等于更高位数的取值*当前位数位数+1，即 cnt += (high * digit + low + 1)；
3. 若当前位的数字大于2，则2只能出现在更低位，此时2出现的次数等于（更高位数的取值+1）*当前位数位数，即 cnt += ((high + 1) * digit)。

在计算每一位上数字2出现的次数之后，我们只需要将每一位的cnt累加起来即可得到[l， r]区间内2出现次数的总和。

具体的代码实现如下：

### 回答3：
对于这个问题，我们需要分析各个位数上数字2出现的情况，然后累加得到总次数。

首先考虑个位上的情况，我们可以先将[l, r]中的所有数变成以1为个位的形式，如将1234变成1231，将1240变成1231，将1243变成1241。因为在这种表示下，对于所有数字n，其个位上数字2出现的次数都是n / 10 + （n % 10 >= 2 ? 1 : 0），即n除以10的商加上余数是否大于等于2。然后我们只需要计算[l, r]中对应的数字，再加起来即可得到个位上数字2的总次数。

接着考虑十位上的情况，我们需要将[l, r]中的所有数变成以10为十位的形式，如将1234变成1220，将1240变成1240，将1243变成1240。同样地，对于任意数字n，其十位上数字2出现的次数可以分为两个部分：低位部分（个位到十位之间）和高位部分（十位以上）。假设当前考虑的位数是十位，对于某个数i，低位部分对2的贡献可以通过 i % 10 来计算，而高位部分可以通过 i / 100 * 10 （如果百位上数字小于2，则为0，否则为10）来计算。然后我们只需要将[l, r]中对应的数字加起来即可得到十位上数字2的总次数。

同理，我们可以继续考虑百位、千位等各个位数上数字2出现的情况，每次计算出[l, r]中对应位数上数字2的总次数，并求和得到答案即可。

综上所述，我们得到了一个时间复杂度为O(log r)的算法，可以高效地解决这个问题。