已知抛物线W方程：y等于x的平方加四分之一。已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于三倍的根号三。

首先，由抛物线W的方程可知，其开口向上，顶点为(0,1/4)。

设矩形ABCD的三个顶点分别为A(a, a^2+1/4), B(b, b^2+1/4), C(c, c^2+1/4)，D(d, d^2+1/4)。

则由矩形的性质，可得：

AB = DC = |a - b|

BC = AD = |b - c|

矩形ABCD的周长为：

P = 2AB + 2BC = 2|a - b| + 2|b - c|

注意到抛物线的对称轴是y轴，因此矩形ABCD的中心点M的横坐标为(b + d)/2。

由中线定理，可得：

BC^2 = AM^2 + MC^2 = [(b + d)/2 - c]^2 + [b^2+1/4 - (c^2+1/4)]^2

同理，可得：

AB^2 = [(b + d)/2 - a]^2 + [b^2+1/4 - (a^2+1/4)]^2

将AB和BC的式子代入矩形周长的式子中，可得：

P^2 = 4[(b + d)/2 - c]^2 + 4[b^2+1/4 - (c^2+1/4)]^2 + 4[(b + d)/2 - a]^2 + 4[b^2+1/4 - (a^2+1/4)]^2

化简得：

P^2 = 2(b - a + c - d)^2 + 4(b - c)^2 + 4(b - a + c - d)^2 + 4(b - a)^2

P^2 = 6(b - a)^2 + 6(c - b)^2 + 6(d - c)^2

由于b, c在抛物线上，因此：

b^2 + 1/4 = c^2 + 1/4

即：

(b - c)(b + c) = 0

因为b≠c，所以：

b + c = 0

由于抛物线的对称轴是y轴，因此矩形ABCD的中心点M的横坐标为(b + d)/2，也就是0。

因此：

b + d = 0

代入P的式子中，可得：

P^2 = 12(b^2 + c^2 + d^2) > 12(0) = 0

因此：

P > 0

又因为：

P^2 = 6(b - a)^2 + 6(c - b)^2 + 6(d - c)^2

代入(b + c = 0)和(b + d = 0)的式子，可得：

P^2 = 6(b - a)^2 + 6b^2 + 6d^2

P^2 = 6(b^2 + d^2) > 6(0) = 0

因此：

P > 0

综上所述，矩形ABCD的周长大于0，即：

P > 0

而根据前面的推导，已经得到：

P^2 = 12(b^2 + c^2 + d^2)

因此：

P > √(12(b^2 + c^2 + d^2))

又因为：

b^2 + c^2 + d^2 ≥ (1/3)(b + c + d)^2

代入(b + c = 0)和(b + d = 0)的式子，可得：

b^2 + c^2 + d^2 = 2b^2 + 2d^2 ≥ (1/3)(-b)^2 = 1/3

因此：

P > √(12(1/3)) = √4 = 2

即：

P > 2

又因为：

√3 < 2

因此：

P > 3√3

综上所述，矩形ABCD的周长大于三倍的根号三，证毕。