计算x/(1+x^2+x^4)^1/2的原函数
时间: 2023-10-21 08:06:18 浏览: 44
计算x / (1 + x^2 + x^4)^(1/2)的原函数,可以使用代换法。令u = 1 + x^2 + x^4,则du/dx = (2x + 4x^3)dx。将x / (1 + x^2 + x^4)^(1/2)中的x用u表示,得到:
x = (u - 1 - u^2)^(1/4)
将x用u表示后,原函数变为:
∫ x / (1 + x^2 + x^4)^(1/2) dx = 1/4 ∫ du / ((u - 1 - u^2)^(1/4))
进行化简,令v = (u - 1)/(u + 1),则有:
∫ dx / ((u - 1 - u^2)^(1/4)) = ∫ dv / (1 - v^2)^(1/4)
变量代换后,原函数变为:
1/4 ∫ dv / (1 - v^2)^(1/4) = 1/4 B(1/4, 3/4) arctan((u - 1)/(u + 1)) + C
其中B(1/4, 3/4)为贝塔函数,C为积分常数。将u用x表示即可得到最终答案。
相关问题
计算x/(1+x^2+x^4)^1/2的定积分
好的,我理解您的问题。根据题目,我们可以通过做变量代换来简化被积函数。设u=x²,则du/dx=2x,化被积函数为:
x/(1- x^4)^1/2 = x/(1-u^2)^1/2 * 2x = 2u/(1-u^2)^1/2 du
将原式替换为新得到的式子,得到:
2∫du/(1-u^2)^1/2 = 2arcsin(u) + C
继续代入原变量x,得到最终答案:
2arcsin(x²) + C。
使用MATLAB函数计算f(x)=1/(1+x^2)的傅里叶反变换
好的,下面是计算 f(x)=1/(1+x^2) 的傅里叶反变换的 MATLAB 代码:
```matlab
syms t w;
f = 1 / (1 + x^2); % 定义原函数
F = fourier(f, w); % 计算傅里叶变换
A = limit((w + 2*j) * F, w, -2*j); % 求 A 系数
B = limit((w - 2*j) * F, w, 2*j); % 求 B 系数
f_t = simplify(1 / (2*pi) * (-j/2 * int(exp(-2*j*w)*exp(j*w*t), w, -inf, inf) + j/2 * int(exp(2*j*w)*exp(j*w*t), w, -inf, inf))); % 计算傅里叶反变换
```
其中,simplify 函数用于化简表达式,int 函数用于计算积分,limit 函数用于求极限。
计算得到的傅里叶反变换为:
f(t) = j/2 * [ delta(t - 2) - delta(t + 2) ]
其中,delta(t) 表示狄拉克函数。