∫(1/2(e^x - 2)) dx

要计算积分∫(1/(2(e^x - 2))) dx，我们可以进行简单的代换。

令 u = e^x - 2，那么 du = e^x dx，或者可以写成 dx = du / e^x。

将代换后的变量代入积分中，得到∫(1/(2u)) * (du / e^x) = ∫(1/(2u)) du。

这是一个常规的积分，结果为(1/2) ln|u| + C。

将代换变量 u 恢复成原始变量 e^x - 2，得到最终结果为(1/2) ln|e^x - 2| + C，其中 C 是常数项。

所以，∫(1/(2(e^x - 2))) dx = (1/2) ln|e^x - 2| + C。

相关问题

∫1/(e^x * (e^x-2)) dx

要计算积分∫(1/(e^x * (ex-2))) dx，我们可以尝试使用换法来解决。

令 u = e^-2，那么 du = e^x dx，或者可以写成 dx = du e^x。

将代换后的变量代入积分中，得到∫1/(u * e^x)) * (du e^x) = ∫(1/u) du。

这是一个简单的积分，结果为ln|u| + C。

将代换变量 u 恢复成原始变量 e^x-2，得到最终结果为ln|e^x-2| + C，其中 C 是常数项。

所以，∫(1/(e^x * (e^x-2))) dx = ln|e^x-2| + C。

∫(1/(e^x * (e^x -2))) dx

对于积分∫(1/(e^x * (e^x - 2))) dx，我们可以尝试使用部分分式分解来求解。

首先，我们将分母进行因式分解，得到1/(e^x * (e^x - 2)) = A/e^x + B/(e^x - 2)，其中A和B是待定系数。

然后，我们可以将这个等式两边乘以e^x * (e^x - 2)，得到1 = A*(e^x - 2) + B*e^x。

接下来，我们将等式两边展开并匹配对应的系数，得到1 = (A + B)*e^x - 2A。

根据等式两边对应项的系数相等，我们可以得到以下两个方程：
A + B = 0 （系数为0的指数项）
-2A = 1 （常数项）

解这个方程组，可以得到A = -1/2，B = 1/2。

现在，我们将原始的积分进行分解，得到∫(1/(e^x * (e^x - 2))) dx = ∫(-1/2e^x) dx + ∫(1/2(e^x - 2)) dx。

对于第一项∫(-1/2e^x) dx，由指数函数的积分性质，结果为-1/2 * e^x。

对于第二项∫(1/2(e^x - 2)) dx，我们可以展开并进行积分，得到1/2 * (ln|e^x - 2|)。

将两个部分的积分结果相加，最终得到∫(1/(e^x * (e^x - 2))) dx = -1/2 * e^x + 1/2 * (ln|e^x - 2|) + C，其中C是常数项。

所以，∫(1/(e^x * (e^x - 2))) dx = -1/2 * e^x + 1/2 * (ln|e^x - 2|) + C。