70字左右:叙述一个工程耗时最小问题，并用Prim算法进行解决

Prim算法是一种用于解决最小生成树问题的算法。它的目的是找到一种最有效的方法来将一组节点连接起来，使得所有节点之间的距离最短，耗时最少。Prim算法首先从一个节点开始，然后找到到它最近的节点，并将它们连接起来，然后再找到与这两个节点最近的节点，将它们连接起来，以此类推，直到所有节点都被连接起来。Prim算法可以有效地解决工程耗时最小问题，使得工程实施更加有效，更节约时间。

相关问题

证明:prim算法产生一颗最小生成树

Prim算法是一种用于构造最小生成树的贪心算法。它通过逐步选择边来构建最小生成树，直到所有顶点都被包含在生成树中。下面是证明Prim算法产生一颗最小生成树的步骤：

1. 假设G是一个连通的加权无向图，V是图G的顶点集合，E是图G的边集合。
2. 初始化一个空的生成树T，选择一个起始顶点v作为生成树的根节点。
3. 重复以下步骤，直到生成树T包含了图G的所有顶点：
a. 在生成树T中选择一个顶点u，该顶点在生成树T中，但与生成树T中的顶点不相邻，并且与生成树T中的顶点相邻的边的权值最小。
b. 将边(u, v)添加到生成树T中，其中v是与u相邻的顶点。
4. 返回生成树T。

证明Prim算法产生一颗最小生成树的关键在于证明每一步选择的边都是当前生成树T的最小权值边。这可以通过反证法来证明。假设在某一步选择的边不是当前生成树T的最小权值边，那么存在一条更小权值的边可以替代它。但是根据Prim算法的选择规则，我们知道在每一步选择时都选择了权值最小的边，因此这个假设是不成立的。

因此，根据Prim算法的步骤和证明，可以得出结论：Prim算法产生的生成树是最小生成树。

写一个c语言的最小生成树prim算法

好的，以下是C语言的Prim算法最小生成树实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>

#define V 5 // 顶点数

int minKey(int key[], int mstSet[])
{
    int min = INT_MAX, min_index;
    for (int v = 0; v < V; v++)
        if (mstSet[v] == 0 && key[v] < min)
            min = key[v], min_index = v;

    return min_index;
}

void printMST(int parent[], int graph[V][V])
{
    printf("Edge \tWeight\n");
    for (int i = 1; i < V; i++)
        printf("%d - %d \t%d \n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
}

void primMST(int graph[V][V])
{
    int parent[V]; // 存放最小生成树
    int key[V]; // 权值
    int mstSet[V]; // 已经在最小生成树中的顶点

    for (int i = 0; i < V; i++)
        key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = 0;

    key[0] = 0; // 第一个节点加入最小生成树
    parent[0] = -1; // 根节点

    for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
        int u = minKey(key, mstSet);
        mstSet[u] = 1; // 加入最小生成树

        for (int v = 0; v < V; v++)
            if (graph[u][v] && mstSet[v] == 0 && graph[u][v] < key[v])
                parent[v] = u, key[v] = graph[u][v];
    }

    printMST(parent, graph);
}

int main()
{
    int graph[V][V] = {{0, 2, 0, 6, 0},
                       {2, 0, 3, 8, 5},
                       {0, 3, 0, 0, 7},
                       {6, 8, 0, 0, 9},
                       {0, 5, 7, 9, 0}};

    primMST(graph);

    return 0;
}

这个实现是针对一个大小为5的图，但可以通过修改 `V` 和 `graph` 数组的大小来处理不同大小的图。