给出一个序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7...an，求它的一个子序列（设为s1,s2,...sn），使得这个子序列满足这样的性质：s1<s2<s3<...<sn并且这个子序列的长度最长。输出这个最长子序列的长度，要求时间复杂度为O(n2)。 输入 每组输入包括两行，第一行为序列长度n，第二行为序列。 输出 输出最长递增子序列的长度。python完整代码

以下是Python的完整代码实现：

n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))

dp = [1] * n  # dp[i]表示以a[i]结尾的最长递增子序列长度

for i in range(1, n):
    for j in range(i):
        if a[j] < a[i]:  # 如果a[j]比a[i]小，说明可以在以a[j]结尾的最长递增子序列后面加上a[i]，使得dp[i]可以更新
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

print(max(dp))  # 最终结果为dp中的最大值

时间复杂度为$O(n^2)$。

相关问题

给出一个序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7...an，求它的一个子序列（设为s1,s2,...sn），使得这个子序列满足这样的性质：s1<s2<s3<...<sn并且这个子序列的长度最长。输出这个最长子序列的长度，要求时间复杂度为o(n2)。

### 回答1：
这个问题要求给出一个程序列表a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 ... an，并且要求它们组成一个子序列（设为s1，s2，... sn），使得这个子序列满足s1 < s2 < s3 < ... < sn，同时这个子序列的长度最长。要求输出这个最长子序列的长度，并且要求时间复杂度为O(n2)。

### 回答2：
这道题可以使用动态规划算法解决，时间复杂度可以控制在O(n^2)。

首先定义一个数组dp，dp[i]表示以第i个数结尾的最长上升子序列的长度。初始状态下，dp[i]都为1，因为每个数本身都是一个长度为1的上升子序列。

然后从第二个数开始遍历，在第i个数之前的所有数中找到比它小的数j，如果找到了，就更新dp[i]为max(dp[i],dp[j]+1)。这里的意思是，以第i个数结尾的最长上升子序列的长度，要么就是它自己，要么就是前面某个数的上升子序列再加上它自己。最后，遍历dp数组，找到最大值就是最长上升子序列的长度。

下面是具体的代码实现：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
vector<int> dp(n, 1);
for (int i = 1; i < n; i++){
for (int j = 0; j < i; j++){
if (nums[i] > nums[j]){
dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++){
res = max(res, dp[i]);
}
return res;
}

时间复杂度分析：两层循环，每层都遍历了n个数，所以时间复杂度为O(n^2)。

### 回答3：
算法思想：

首先定义一个数组dp，其中dp[i]表示以位置i结尾的最长递增子序列长度，初始值均为1，因为任何一个位置都可以看做最长递增子序列的结尾。

然后从i=2开始遍历，对于位置i，需要考虑前面所有位置j的dp[j]值，如果a[j]<a[i]，说明可以将a[j]加入到以a[i]结尾的最长递增子序列中，那么此时以a[i]结尾的最长递增子序列长度就是dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)。

最后遍历dp数组，取其中的最大值即为最长递增子序列长度。

算法实现：

时间复杂度为O(n^2)。

Python代码如下：

def longestIncreasingSubsequence(arr):
n = len(arr)
dp = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if arr[j] < arr[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)

arr = [1, 3, 2, 4, 7, 6, 9, 8]
print(longestIncreasingSubsequence(arr)) # 输出：5

Java代码如下：

public static int longestIncreasingSubsequence(int[] arr) {
int n = arr.length;
int[] dp = new int[n];
Arrays.fill(dp, 1);
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (arr[j] < arr[i]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
}

int[] arr = {1, 3, 2, 4, 7, 6, 9, 8};
System.out.println(longestIncreasingSubsequence(arr)); // 输出：5

算法优化：

时间复杂度可以优化到O(nlogn)，具体实现可以参考改进的算法：最长递增子序列（LIS）算法。

用密码学的知识解决:已知某线性反馈移位寄存器的反馈函数对应的特征多项式是p(x)=x4+x+1，求： （1）该线性反馈移位寄存器的线性递推式和结构图； （2）设初始状态是(a1,a2,a3,a4)=（1，0，0，0），求此线性反馈移位寄存器产生的序列及其周期。

首先我们来解释一下题目中的术语：

- 线性反馈移位寄存器（LFSR）是一种在密码学中广泛使用的序列生成器，它由若干个寄存器组成，每个寄存器只能存储0或1。在每个时刻，LFSR 会根据寄存器中的值计算出一个新的位，然后将这个新位插入到寄存器的最高位，同时将寄存器中的位向右移动一位。这个新位就是 LFSR 的输出，而输入则是一个外部控制信号（称为“反馈”信号），它会对新位的计算产生影响。
- 反馈函数是一个布尔函数，它描述了反馈信号如何从寄存器中的位计算出来。在本题中，反馈函数对应的特征多项式是 p(x) = x^4 + x + 1，这意味着反馈函数是一个 4 位的线性函数，计算方式为对于任意 4 位寄存器的值 a1, a2, a3, a4，反馈函数的输出为 a1 xor a4 xor 1。

现在我们来回答题目的两个问题：

（1）该线性反馈移位寄存器的线性递推式和结构图

根据 LFSR 的定义，我们可以列出它的线性递推式：

an = an-4 xor an-1

其中 a1, a2, a3, a4 分别表示 4 个寄存器的值，an 表示在第 n 个时刻 LFSR 的输出。由于本题中寄存器的个数为 4，所以这个式子就是该 LFSR 的递推式。

至于结构图，我们可以将 4 个寄存器和反馈函数按照下图连接起来：

     +-------+
     |       |
     v       |
+----+---+   |
|        |<--+
|  p(x)  |
|        |---+
+----+---+   |
     |       |
     v       |
     +-------+

其中箭头表示数据流的方向，反馈函数 p(x) 计算 a1 xor a4 xor 1 的结果并作为输入送回寄存器。这样就形成了一个简单的 LFSR。

（2）设初始状态是 (a1, a2, a3, a4) = (1, 0, 0, 0)，求此线性反馈移位寄存器产生的序列及其周期

根据递推式，我们可以递归地计算出 LFSR 的输出序列：

a1 = 1
a2 = 0
a3 = 0
a4 = 0
a5 = a1 xor a4 = 1
a6 = a2 xor a5 = 1
a7 = a3 xor a6 = 1
a8 = a4 xor a7 = 0
a9 = a5 xor a8 = 1
a10 = a6 xor a9 = 0
a11 = a7 xor a10 = 1
a12 = a8 xor a11 = 1
a13 = a9 xor a12 = 0
a14 = a10 xor a13 = 1
a15 = a11 xor a14 = 0
a16 = a12 xor a15 = 1
a17 = a13 xor a16 = 1
a18 = a14 xor a17 = 0
a19 = a15 xor a18 = 1
a20 = a16 xor a19 = 0
...

可以看出，LFSR 的输出序列是一个无限长的伪随机序列，其中每个位都是 0 或 1。为了方便起见，我们可以将序列分成若干个周期，每个周期包含 15 个位：

1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

可以验证，这个周期满足递推式，即对于任意正整数 n，有：

an = a(n+15)

因此，这个周期的长度为 15。