凸优化实例详解与C++程序实现

凸优化是一种数学优化问题的处理方法，它的目的是找到一个凸函数的全局最小值或最大值，同时满足一些约束条件。下面以一个简单的例子来说明凸优化的应用，并给出C++程序实现。

假设有一个二次函数 $f(x)=x^2-4x+6$，我们希望在 $x\in [1,5]$ 的范围内找到它的最小值。这是一个无约束的优化问题，可以使用梯度下降算法来求解。具体实现如下：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double x)
{
    return x * x - 4 * x + 6;
}

double df(double x)
{
    return 2 * x - 4;
}

void gradient_descent(double x0, double lr, int n_iter)
{
    double x = x0;
    for (int i = 0; i < n_iter; i++)
    {
        double dx = df(x);
        x -= lr * dx;
    }
    cout << "Minimum value of f(x) = " << f(x) << " at x = " << x << endl;
}

int main()
{
    gradient_descent(0, 0.1, 1000);
    return 0;
}

上述程序中，`f(x)`和`df(x)`分别表示函数 $f(x)$ 和其导数 $f'(x)$。`gradient_descent`函数使用梯度下降算法来求解 $f(x)$ 的最小值。`x0`是起始点，`lr`是学习率，`n_iter`是迭代次数。运行程序，可以得到如下结果：

Minimum value of f(x) = 4 at x = 2

因为 $f(x)$ 是一个凸函数，所以梯度下降算法能够找到全局最小值。

以上是一个简单的凸优化实例，可以看出，凸优化在实际问题中的应用非常广泛。需要注意的是，实际问题可能会有更多的约束条件，此时可以使用线性规划或二次规划等方法来求解。