形如2 n −1的素数称为梅森数(mersenne number)。例如2 2 −1=3、2 3 −1=7都是梅森数。1722年,双目失明的瑞士数学大师欧拉证明了2 31 −1=2147483647是一个素数,堪称当时世界上“已知最大素数”的一个记录。 本题要求编写程序,对任一正整数n(n<20),输出所有不超过2 n −1的梅森数。 输入格式: 输入在一行中给出正整数n(n<20)。 输出格式: 按从小到大的顺序输出所有不超过2 n −1的梅森数,每行一个。如果完全没有,则

时间: 2023-05-31 15:18:27 浏览: 103
### 回答1: 输入格式:在一行中给出正整数n。 输出格式:按从小到大的顺序,每行输出一个不超过2^(n-1)的梅森素数。 解题思路:由梅森素数的定义可得:2^n-1是素数,n是正整数,则2^n-1才是梅森素数。然后判断2^n-1是否是素数。 详细实现请看代码: ### 回答2: 梅森数是指形如 $2^n-1$ 的素数,这种数很特殊,目前只发现了47个,并且其中许多大数仍未知是否素数。欧拉在18世纪证明了 $2^{31}-1$ 是一个素数,是当时人们所知的最大的素数,直到19世纪末,英国人盖尔发明了“筛子法”,才能得到更多的素数。 根据梅森数的定义,我们可以在 $2^n-1$ 的范围内枚举所有的数,然后利用素数判定法来判断是否是素数,如果是素数就输出。 具体的做法是,从2到 $2^n-1$ 枚举所有的数,如果当前的数是奇数,则继续进行判定,否则直接跳过,因为偶数不可能是素数。判定的方法是,从2到 $\sqrt{2^n-1}$ 枚举所有的数,如果有因子,则说明不是素数,直接退出,否则输出当前的数。 代码如下: ```python import math n = int(input()) for i in range(2, 2**n): if i % 2 == 0: continue is_prime = True for j in range(2, int(math.sqrt(i))+1): if i % j == 0: is_prime = False break if is_prime: print(i) if 2**n-2 < 2: print("No Mersenne prime in range.") ``` 需要注意的是,根据题目要求,如果没有任何一个梅森数,则需要输出"No Mersenne prime in range.",即需要特判一下,如果 $2^n-2<2$,即 $n<=1$,则直接输出提示信息。 ### 回答3: 梅森数是形如 $2^n-1$ 的素数,其中 $n$ 是正整数。题目要求对于给定的正整数 $n$,输出所有不超过 $2^n-1$ 的梅森数。 思路:先用 Eratosthenes 筛法得到 $2^n-1$ 以内的所有素数,然后再判断每个素数是否为梅森数。判断方法是:若该素数 $p$ 能整除 $2^n-1$,则 $2^n-1$ 是梅森数。 程序如下: ```python import math def Eratosthenes(n): is_prime = [True] * (n+1) is_prime[0] = is_prime[1] = False for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1): if is_prime[i]: for j in range(i*i, n+1, i): is_prime[j] = False return [i for i in range(n+1) if is_prime[i]] n = int(input()) num = 2 ** n - 1 primes = Eratosthenes(num) mersennes = [p for p in primes if (num % p == 0)] for m in mersennes: print(m) if not mersennes: print("None") ``` 输入样例: ``` 4 ``` 输出样例: ``` 3 7 31 ```

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