预处理共轭梯度法求解线性方程组 Ax = b 的极小化matlab算法。要求用function函数，并且函数输入包括A, b, x0, maxiter, tol，A和b变量采用load date_A.mat；load date_b.mat，同时给出预处理函数以及主程序

预处理共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient，简称PCG）是求解对称正定线性方程组的常用算法之一。它结合了共轭梯度法和预处理技术，在迭代次数和计算速度上都有较好的表现。下面给出一个使用PCG算法求解线性方程组的Matlab代码。

预处理函数：

function [M, Minv] = myprecon(A)
% 预处理函数，构造预处理矩阵和其逆矩阵
% 输入：A - 对称正定矩阵
% 输出：M - 预处理矩阵
%       Minv - 预处理矩阵的逆矩阵

% 使用不完全Cholesky分解作为预处理方法
L = ichol(A);
M = L'*L;
Minv = inv(M);
end

PCG算法主函数：

function [x, k] = mypcg(A, b, x0, maxiter, tol)
% 预处理共轭梯度法求解线性方程组 Ax = b
% 输入：A - 对称正定矩阵
%       b - 右端向量
%       x0 - 初始点
%       maxiter - 最大迭代次数
%       tol - 迭代收敛精度
% 输出：x - 迭代最终解
%       k - 迭代次数

% 构造预处理矩阵
[M, Minv] = myprecon(A);

% 初始化
r = b - A*x0;
z = Minv*r;
p = z;
x = x0;
k = 0;

% 迭代
while k < maxiter && norm(r) > tol
    Ap = A*p;
    alpha = (r'*z)/(p'*Ap);
    x = x + alpha*p;
    r_new = r - alpha*Ap;
    z_new = Minv*r_new;
    beta = (z_new'*r_new)/(z'*r);
    p = z_new + beta*p;
    r = r_new;
    z = z_new;
    k = k + 1;
end
end

主程序：

load data_A.mat;
load data_b.mat;

x0 = zeros(size(A, 1), 1); % 初始点
maxiter = 1000; % 最大迭代次数
tol = 1e-6; % 迭代收敛精度

tic;
[x, k] = mypcg(A, b, x0, maxiter, tol);
toc;

% 输出结果
fprintf('迭代次数：%d\n', k);
fprintf('迭代终止精度：%e\n', norm(A*x-b));