已知初始条件y(0)=x0,y(tf)=xf,其中tf趋于无穷,求解微分方程y^(2)-0.0001y+0.0001xf=0
时间: 2023-05-27 22:05:07 浏览: 55
根据微分方程y^(2)-0.0001y+0.0001xf=0,可以将其化为标准形式:y''-0.0001y'+0.0001xf'=0。
令v=y',则原方程可以化为一阶常微分方程组:
y'=v
v'=0.0001v-0.0001xf
设特解为y=k,代入原方程得k^2-0.0001k+0.0001xf=0,解得k=0.01xf。因此特解为y=0.01xf。
设通解为y=yh+y0,其中yh为齐次方程的解,y0为特解。齐次方程为y''-0.0001y'=0,特征方程为r^2-0.0001r=0,解得r1=0,r2=0.0001。因此齐次方程的通解为yh=c1+c2e^0.0001t,即yh=c1+c2。
将通解代入原方程,得到0.0001(c2e^0.0001t)+0.01xf=0,解得c2=-100xf,因此yh=c1-100xf。
根据初始条件y(0)=x0,得到c1=x0+100xf。因此,通解为y=(x0+100xf)-100xf+0.01xf,即y=x0+0.01xf。
由于tf趋于无穷,因此y(tf)=xf,代入通解得到:
x0+0.01tf=xf
解得tf=(xf-x0)/0.01,即tf趋于无穷的条件为xf不等于x0。
相关问题
已知一阶微分方程: dy+y^2=0,y(0)=1,求y(1)
根据题目中的微分方程,我们可以将其写成如下形式:
dy/dx = 0 / y^2
通过分离变量,我们可以得到:
y^-2 dy = 0 dx
对两边同时积分,得到:
-1/y = x + C
其中C为积分常数,可以通过初始条件y(0)=1确定为C=-1。
将C带入上式,得到:
1/y = 1-x
最终得到:
y = 1 / (1-x)
因为要求y(1),所以将x=1代入上式,得到:
y(1) = 1 / (1-1) = 无限大
因此,根据给定的微分方程和初始条件,我们得到y(1)的值为无限大。
已知初始条件x(0)=m,x(tf)=n,其中m、n和a均为常值,tf趋于无穷,求微分方程x''-ax+an=0的通解
设x(t)的通解为x(t)=c1e^(rt)+c2e^(-rt),其中c1、c2、r均为常数,代入微分方程得:
r^2(c1e^(rt)+c2e^(-rt))-a(c1e^(rt)-c2e^(-rt))n=0
化简得:
r^2c1e^(rt)-arc1e^(rt)+arc2e^(-rt)-r^2c2e^(-rt)=0
整理得:
r(c1-c2)e^(rt)-r(c1+c2)e^(-rt)-an=0
令c1-c2=1,c1+c2=0,解得c1=1/2,c2=-1/2,r=√(an)
因此x(t)=(1/2)e^(√(an)t)-(1/2)e^(-√(an)t)为微分方程的通解。
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