定积分e^-y 范围x到正无穷

### 回答1：
要求解定积分 $\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy$。

首先，我们可以对 $e^{-y}$ 进行不定积分，得到 $-\int e^{-y} d(-y) = -e^{-y} + C$，其中 $C$ 为积分常数。

然后，我们可以将积分限代入不定积分的结果，得到：

$$\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy = \left[ -e^{-y} \right]_{x}^{\infty} = \lim_{t \rightarrow \infty} (-e^{-t} - (-e^{-x}))$$

当 $t \rightarrow \infty$ 时，$e^{-t} \rightarrow 0$，因此上式等于：

$$\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy = e^{-x}$$

因此，定积分 $\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy$ 的结果为 $e^{-x}$。

### 回答2：
要计算定积分$\int_{x}^{\infty} e^{-y} \,dy$。

我们可以使用变量代换的方法来求解这个积分。我们令$u=-y$，则$du=-dy$。同时，当$y$趋近于正无穷时，$u$会趋近于负无穷。

当$y=x$时，$u=-x$；当$y$趋近于正无穷时，$u$趋近于负无穷。

代入积分得：$\int_{-x}^{-\infty}e^u \,du$。

再次改写积分的上下限，得到$\int_{-\infty}^{-x}e^u \,du$。

现在，我们需要解决这个积分。反函数$(-e^u)'=-e^u$，所以我们可以将其积分改为负号并换回到$y$的变量。

得到的结果是：$\left[-e^u\right]_{-\infty}^{-x}=-e^{-x}-(-e^{-\infty})=-e^{-x}$。

因此，定积分$\int_{x}^{\infty} e^{-y} \,dy$的结果为$-e^{-x}$。

总结：定积分$\int_{x}^{\infty} e^{-y} \,dy$的结果为$-e^{-x}$。

### 回答3：
要计算定积分$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy$。

首先，我们注意到$e^{-y}$是连续函数，且在区间$(x, +\infty)$上始终为正。因此，该定积分存在。

我们可以使用不定积分的方法来计算出该定积分的值。记$F(y)=-e^{-y}$，则$F'(y)=e^{-y}$。根据不定积分的性质，我们有：

$$\int e^{-y} \, dy = -e^{-y} + C$$

这里的$C$是积分常数。将上述结果代入定积分的表达式中，我们有：

$$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy = \lim_{y\to+\infty} \left(-e^{-y} - (-e^{-x})\right)$$

由于当$y$趋向于正无穷时，$-e^{-y}$趋近于0，以上极限为：

$$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy = e^{-x}$$

综上所述，定积分$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy$的值为$e^{-x}$。