集合 A上的等价关系的三个性质是什么?(
时间: 2024-04-22 17:28:54 浏览: 16
集合 A 上的等价关系具有以下三个性质:
1. 自反性:对于 A 中的任意元素 a,都有 a 和自身等价,即 (a, a) 属于这个关系。
2. 对称性:对于 A 中的任意元素 a 和 b,如果 a 和 b 等价,那么 b 和 a 也等价,即当 (a, b) 属于这个关系时,(b, a) 也属于这个关系。
3. 传递性:对于 A 中的任意元素 a、b 和 c,如果 a 和 b 等价,b 和 c 等价,那么 a 和 c 也等价,即当 (a, b) 和 (b, c) 都属于这个关系时,(a, c) 也属于这个关系。
相关问题
若非空集合A上的二元关系R和S是等价关系,试证明:也是A上的等价关系。
要证明关系$R$和$S$是$A$上的等价关系,需要证明它们满足等价关系的三个性质:自反性、对称性和传递性。
首先,因为$R$和$S$是$A$上的等价关系,所以它们是自反的。即对于任意$a\in A$,都有$(a,a)\in R$和$(a,a)\in S$,因此$(a,a)\in R\cap S$。所以$R\cap S$是自反的。
其次,因为$R$和$S$是$A$上的等价关系,所以它们是对称的。即对于任意$a,b\in A$,如果$(a,b)\in R$,那么$(b,a)\in R$;如果$(a,b)\in S$,那么$(b,a)\in S$。因此,$(a,b)\in R\cap S$时,$(b,a)\in R\cap S$,即$R\cap S$是对称的。
最后,因为$R$和$S$是$A$上的等价关系,所以它们是传递的。即对于任意$a,b,c\in A$,如果$(a,b)\in R$且$(b,c)\in R$,那么$(a,c)\in R$;如果$(a,b)\in S$且$(b,c)\in S$,那么$(a,c)\in S$。因此,$(a,b)\in R\cap S$且$(b,c)\in R\cap S$时,$(a,c)\in R\cap S$,即$R\cap S$是传递的。
综上所述,$R\cap S$是$A$上的等价关系。因此,若非空集合$A$上的二元关系$R$和$S$是等价关系,则它们也是$A$上的等价关系。
下面是定义在从Z到Z的所有函数集合上的关系,其中哪些是等价关系?
### 回答1:
1. f(x)~f(x) (自反性)
2. 如果f(x)~g(x),那么g(x)~f(x) (对称性)
3. 如果f(x)~g(x)且g(x)~h(x),那么f(x)~h(x) (传递性)
以上三个条件均成立,因此这是一个等价关系。
### 回答2:
定义在从Z到Z的所有函数集合上的关系主要有以下几个:
1. 反身性:对于所有的函数f,f与自身是等价的,即f ≡ f。
2. 对称性:对于任意的函数f和g,如果f ≡ g,则g ≡ f。
3. 传递性:对于任意的函数f、g和h,如果f ≡ g且g ≡ h,则f ≡ h。
根据上述定义,反身性显然成立,即任意函数与自身是等价的。
对于对称性,假设存在函数f和g,满足f ≡ g。根据函数的定义,两个函数相等意味着它们具有相同的定义域和对应的值相等。根据这个定义,我们可以得出结论:如果f ≡ g,则对于任意的整数x,有f(x) = g(x),那么必然有g(x) = f(x),即g ≡ f。因此,对称性也成立。
再来看传递性,假设存在函数f、g和h满足f ≡ g且g ≡ h。同样根据函数的定义,我们可以得出结论:如果f ≡ g且g ≡ h,则对于任意整数x,有f(x) = g(x)且g(x) = h(x),那么必然有f(x) = h(x),即f ≡ h。因此,传递性也成立。
综上所述,反身性、对称性和传递性均成立。因此,该关系是等价关系。
### 回答3:
在从Z到Z的所有函数集合上,以下关系是等价关系:
1. 自反性:对于任意的函数f,它与自身是等价的。即f ~ f。
2. 对称性:对于任意的函数f和g,如果f与g等价,则g也与f等价。即如果f ~ g,则g ~ f。
3. 传递性:对于任意的函数f、g和h,如果f与g等价,且g与h等价,则f与h也等价。即如果f ~ g且g ~ h,则f ~ h。
因此,以上三个性质同时满足的关系是等价关系。