具体案例的惩罚函数MATLAB程序

以下是一个具体案例的惩罚函数法 Matlab 程序示例，用于求解一个有约束的非线性优化问题：

$$\min_{x_1, x_2} f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2$$

$$\text{s.t.} \quad g(x_1, x_2) = x_1^3 - x_2 = 0$$

function [x, fval] = penalty_method_demo(x0, rho, tol)
% 定义目标函数和约束条件
f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2;
g = @(x) x(1)^3 - x(2);

x = x0;
fval = f(x);

while true
    % 构造惩罚函数
    p = @(x) f(x) + rho * max(0, g(x))^2;
    
    % 求解无约束优化问题
    [x, fval] = fminunc(p, x);
    
    % 判断是否满足约束条件
    if abs(g(x)) < tol
        break;
    end
    
    % 更新惩罚函数系数
    rho = rho * 10;
end
end

在这个例子中，目标函数 $f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2$，约束条件 $g(x_1, x_2) = x_1^3 - x_2 = 0$。我们将约束条件转化为不等式形式 $g(x) \leq 0$，并使用惩罚函数法求解。在每次迭代中，我们构造惩罚函数 $p(x) = f(x) + \rho \max(0, g(x))^2$，求解无约束优化问题 $\min_{x} p(x)$，并判断是否满足约束条件。如果不满足，则增加惩罚函数系数 $\rho$ 并重新求解。当约束条件满足一定的容差 $\text{tol}$ 后，算法终止并返回最优解 $x$ 和目标函数值 $f(x)$。