∫1/(x+(1-x^2)^(1/2))dx的不定积分，并写出步骤

我们可以进行变量代换，令u = 1 − x^2，那么du/dx = -2x，即dx = -du/(2x)。将其带入原式得到：

∫1/(x (1-x^2)^(1/2))dx = -1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2))

接下来，我们可以使用欧拉第一积分的形式，即：

∫dx/(x^a (1-x)^b) = B(x^(1-a), 1-b+a) + C(1-x)^(1-b), 其中B为欧拉第二型不完全贝塔函数，C为常数

将其带入原式得到：

-1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2)) = -1/2B(u^(1/2), 1/2) + C(1-u)^(1/2)

由于B函数不好求解，我们可以使用三角代换法，令u = sin^2θ，那么du = 2sinθcosθdθ，将其带入得到：

-1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2)) = -∫dθ/sinθ = -ln|cscθ - cotθ| + C

将u = sin^2θ带回得到：

-1/2 ∫du/(u^(1/2)(1-u)^(1/2)) = -ln|csc(arcsin(√u)) - cot(arcsin(√u))| + C

即最终结果为：

∫1/(x (1-x^2)^(1/2))dx = -ln|csc(arcsin(√(1-x^2))) - cot(arcsin(√(1-x^2)))|/2 + C