linear fractional transformation

时间: 2023-03-16 12:48:09 浏览: 131

Linear Transformation

### 线性变换（Linear Transformation） #### 定义线性变换是数学中的一个重要概念，在线性代数中有着广泛的应用。一个从向量空间 \(V_1\) 到另一个向量空间 \(V_2\) 的变换 \(T: V_1 \rightarrow V_2\) 被称为线性变换（或线性算子、线性映射等），如果它满足以下两个条件： 1. **加法性质**：对于所有 \(V_1\) 中的向量 \(\vec{u}, \vec{v}\)，有 \(T(\vec{u} + \vec{v}) = T\vec{u} + T\vec{v}\)。 2. **数乘性质**：对于所有 \(V_1\) 中的向量 \(\vec{u}\) 和所有标量 \(c\)，有 \(T(c\vec{u}) = cT\vec{u}\)。这两个条件可以合并为一个等价定义：一个变换 \(T: V_1 \rightarrow V_2\) 是线性变换当且仅当对于所有 \(V_1\) 中的向量 \(\vec{u}, \vec{v}\) 和所有标量 \(a, b\)，有 \(T(a\vec{u} + b\vec{v}) = aT\vec{u} + bT\vec{v}\)。 #### 基本事实 - 如果 \(T\) 是一个线性变换，则 \(T(\vec{0})\) 必须等于 \(\vec{0}\)（零向量）。这是因为根据线性变换的定义，我们有 \(T(\vec{0}) = T(0\vec{u}) = 0T(\vec{u}) = \vec{0}\)。 - 任何从 \(R^n\) 到 \(R^m\) 的线性变换 \(T\) 都可以通过一个 \(m \times n\) 的矩阵 \(A\) 来表示，即对于 \(R^n\) 中的每一个向量 \(\vec{u}\)，都有 \(T(\vec{u}) = A\vec{u}\)。 #### 示例下面列举了一些常见的线性变换实例： 1. **定义于 \(R^5\) 到 \(R^2\) 上的线性变换**： \[ T \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_2 - 5x_3 + 7x_4 + 6x_5 \\ -3x_1 + 4x_2 + 8x_3 - x_4 + x_5 \end{bmatrix} \] 或者等价地， \[ T \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -5 & 7 & 6 \\ -3 & 4 & 8 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} \] 2. **扩展（放大）变换**：在 \(R^3\) 上通过因子 5 进行扩展，对应的矩阵为 \[ \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \] 3. **收缩变换**：在 \(R^2\) 上通过因子 1/3 进行收缩，对应的矩阵为 \[ \begin{bmatrix} 1/3 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix} \] 4. **特定方向的缩放变换**：在 \(R^2\) 上沿一个特定方向进行缩放，对应的矩阵为 \[ \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 5. **旋转变换**：在 \(R^2\) 上绕原点逆时针旋转 \(\pi/3\) 弧度，对应的矩阵为 \[ \begin{bmatrix} \cos(\pi/3) & -\sin(\pi/3) \\ \sin(\pi/3) & \cos(\pi/3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{bmatrix} \] 6. **反射变换**：在 \(R^2\) 上关于 \(x_2\) 轴的反射，对应的矩阵为 \[ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 7. **正交投影变换**：在 \(R^3\) 上到 \(x_1x_3\) 平面的正交投影，对应的矩阵为 \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 8. **正交投影变换**：在 \(R^3\) 上到平面 \(x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0\) 的正交投影，对应的矩阵为 \[ \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 8 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & -5 \end{bmatrix} \] 9. **水平剪切变换**：在 \(R^2\) 上的水平剪切，对应的矩阵为 \[ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 10. **积分变换**：定义于函数空间 \(C[-\pi, \pi]\) 到实数集 \(R\) 上的线性变换 \(Tf = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(3x) dx\)。 11. **导数变换**：定义于一次连续可导函数空间 \(C^1[0,1]\) 到实数集 \(R\) 上的线性变换 \(Tf = f'(1) + 3f(1)\)。 12. **微分方程变换**：定义于二次连续可导函数空间 \(C^2[0,3]\) 到连续函数空间 \(C[0,3]\) 上的线性变换 \(Tf(x) = -x^2f''(x) - 3xf'(x) + e^xf(x)\)。 #### 非线性变换示例下面是一些非线性变换的例子： 1. **包含常数项的变换**：定义于 \(R^5\) 到 \(R^2\) 上的变换 \[ T \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_2 - 5x_3 + 7x_4 + 6x_5 + 777 \\ -3x_1 + 4x_2 + 8x_3 - x_4 + x_5 \end{bmatrix} \] 因为包含了与输入向量无关的常数项 777，所以该变换不是线性的。 2. **平方变换**：定义于 \(R\) 到 \(R\) 上的变换 \(T(x) = x^2\)，这个变换不满足线性变换的数乘性质。 3. **包含三角函数的变换**：定义于 \(R^3\) 到 \(R^2\) 上的变换 \[ T \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2\sin(x_2) - 4x_3 \\ x_2 + 2x_3 \end{bmatrix} \] 因为包含了非线性的 \(\sin(x_2)\)，所以该变换不是线性的。 4. **条件变换**：定义于 \(R^2\) 到 \(R\) 上的变换 \[ T \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{cases} 2x_1 - 3x_2 & \text{if } x_1 \geq 0 \\ 4x_1 - 3x_2 & \text{if } x_1 < 0 \end{cases} \] 由于其定义依赖于输入向量的分段，故该变换不是线性的。通过这些例子，我们可以更深入地理解线性变换的概念及其应用。

线性分式变换（linear fractional transformation）是指将一个复平面上的点通过一个分式函数映射到另一个复平面上的点的变换。它是复变函数中的一个重要概念，常用于解析几何、复变函数论、拓扑学等领域。线性分式变换具有保角性、保距性等重要性质，在许多数学和物理问题中都有广泛应用。

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