概率质量函数(PMF)
时间: 2023-10-26 12:38:26 浏览: 48
概率质量函数(PMF)是一种用于描述离散型随机变量的概率分布的函数。对于一个离散型随机变量 X,其PMF定义为:
P(X = x) = Pr(X=x)
其中,P(X = x)表示随机变量 X 取值为 x 的概率,Pr(X=x)表示事件“X=x”的概率。
PMF的性质包括:
1. 非负性:对于任意的 x,有 P(X = x) ≥ 0。
2. 规范性:对于所有可能的取值,PMF的和为1,即 ∑P(X = x) = 1。
3. 可加性:对于任意两个不相交的事件 A 和 B,P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
PMF可以用来计算随机变量的期望、方差等统计量,也可以用来比较不同离散型随机变量的概率分布。
相关问题
抽屉里有四个骰子:一个四面体(4面),一个 六面体(即立方体,6面)和两个八面体(8面)。你的朋友秘密选择 随机四个骰子中的一个。设S为所选骰子的面数。 (a) S的概率质量函数pmf是什么? 现在你的朋友摇骰子,但不给你看结果。设R为结果 卷的。 (b)使用贝叶斯规则来发现𝑃(𝑆=𝑘|𝑅= 3)𝑘= 4,6,8。如果𝑅= 3,哪个骰子最有可能? 术语:1)您正在计算' S给定R = 3 '的pmf。 2)我们所说的最有可能是指最高的概率。 (c)如果𝑅= 6,哪个骰子最有可能? 提示:您可以重复(b)中的计算,也可以根据结果进行推理 (b)。 (d)如果𝑅= 7,哪个骰子最有可能?不需要计算!
(a) S的概率质量函数pmf为:
P(S=4) = 1/4
P(S=6) = 1/2
P(S=8) = 1/4
(b) 根据贝叶斯规则,有:
P(S=k|R=3) = P(R=3|S=k) * P(S=k) / P(R=3)
其中,P(R=3|S=k)为在骰子面数为k的情况下,掷出3的概率。显然,只有六面体骰子可以掷出3,因此:
P(R=3|S=4) = 0
P(R=3|S=6) = 1/6
P(R=3|S=8) = 1/8
又因为P(R=3) = Σ P(R=3|S=k) * P(S=k),所以:
P(R=3) = P(R=3|S=6) * P(S=6) = 1/2 * 1/2 = 1/4
因此,有:
P(S=4|R=3) = 0
P(S=6|R=3) = (1/6 * 1/2) / (1/4) = 2/3
P(S=8|R=3) = (1/8 * 1/4) / (1/4) = 1/8
因此,六面体骰子最有可能。
(c) 如果R=6,则有:
P(R=6|S=4) = 1/4
P(R=6|S=6) = 1/6
P(R=6|S=8) = 1/4
同理,有:
P(R=6) = P(R=6|S=4) * P(S=4) + P(R=6|S=6) * P(S=6) + P(R=6|S=8) * P(S=8) = 1/4 * 1/4 + 1/6 * 1/2 + 1/4 * 1/4 = 11/48
因此:
P(S=4|R=6) = (1/4 * 1/4) / (11/48) = 3/11
P(S=6|R=6) = (1/6 * 1/2) / (11/48) = 8/11
P(S=8|R=6) = (1/4 * 1/4) / (11/48) = 3/11
因此,六面体骰子仍然最有可能。
(d) 如果R=7,则没有任何一种骰子可以掷出7,因此无法计算。
概率密度函数和分布函数
概率密度函数(Probability Density Function, PDF)是用来描述连续型随机变量在某个确定取值点附近的可能性的函数。它本身不是一个概率值,可以大于1,但在某个区间上积分后才是概率值。概率密度函数通常用符号f(x)表示,其中x是随机变量的取值。\[1\]
分布函数(Distribution Function)是用来描述随机变量X的值小于某个特定值x的概率的函数。分布函数通常用符号F(x)表示,其中x是随机变量的取值。分布函数可以通过概率密度函数的积分得到,即F(x) = ∫f(t)dt,其中t的取值范围是从负无穷到x。\[2\]
需要注意的是,概率密度函数和分布函数是两个不同的概念。概率密度函数描述了连续型随机变量在某个取值点附近的可能性,而分布函数描述了随机变量的取值小于某个特定值的概率。\[1\]\[2\]
对于离散型随机变量,可以使用概率质量函数(Probability Mass Function, PMF)来描述。概率质量函数是离散随机变量在各特定取值上的概率,即它本身就是一个概率值。\[3\]
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [概率分布F(x)和概率密度f(x)](https://blog.csdn.net/weixin_50912862/article/details/114927243)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^insertT0,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
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