python用QR方法求逆矩阵

使用 QR 分解方法求逆矩阵的步骤如下：

1. 对原矩阵 A 进行 QR 分解，得到矩阵 Q 和矩阵 R。
2. 对矩阵 R 求逆矩阵，得到矩阵 R^-1。
3. 求逆矩阵 A^-1 = R^-1 * Q^T。

以下是 Python 代码实现使用 QR 分解法求逆矩阵：

import numpy as np

def inverse(matrix):
    # 1. QR 分解
    Q, R = np.linalg.qr(matrix)

    # 2. 求 R 的逆矩阵
    R_inv = np.linalg.inv(R)

    # 3. 求逆矩阵 A^-1 = R^-1 * Q^T
    A_inv = np.dot(R_inv, Q.T)

    return A_inv

其中，`matrix` 是输入的矩阵，函数返回的是矩阵的逆矩阵。需要注意的是，使用 QR 分解法求逆矩阵时，需要确保原矩阵 A 是满秩的。如果原矩阵 A 不是满秩的，可能会出现计算错误。

相关问题

python用QR方法求逆矩阵但不能用python自带的qr库和inv函数

好的，我们可以手动实现 QR 分解和求逆矩阵的过程。下面是 Python 代码实现：

import numpy as np

def qr_decomposition(matrix):
    m, n = matrix.shape
    Q = np.eye(m)

    for j in range(n):
        # 对第 j 列进行 Householder 变换，将其下方元素变为 0
        v = matrix[j:m, j]
        v[0] = v[0] + np.sign(v[0]) * np.linalg.norm(v)
        v = v / np.linalg.norm(v)
        matrix[j:m, j:n] = matrix[j:m, j:n] - 2 * np.outer(v, np.dot(v, matrix[j:m, j:n]))

        # 构造 Q 矩阵
        Qj = np.eye(m)
        Qj[j:m, j:m] = np.eye(m-j) - 2 * np.outer(v, v)
        Q = np.dot(Q, Qj)

    R = np.triu(matrix)

    return Q, R

def inverse(matrix):
    # 对矩阵进行 QR 分解
    Q, R = qr_decomposition(matrix)

    # 求 R 的逆矩阵
    R_inv = np.zeros_like(R)
    for i in range(R.shape[0]):
        R_inv[i, i] = 1 / R[i, i]
        for j in range(i+1, R.shape[0]):
            R_inv[i, j] = - R_inv[i, i] * np.dot(R[i, i:j], R_inv[i:j, j])

    # 求逆矩阵 A^-1 = R^-1 * Q^T
    A_inv = np.dot(R_inv, Q.T)

    return A_inv

其中，`qr_decomposition` 函数实现了对矩阵进行 QR 分解的过程，返回的是 Q 矩阵和 R 矩阵。`inverse` 函数则实现了对矩阵求逆的过程，返回的是矩阵的逆矩阵。需要注意的是，这里默认输入的矩阵 A 是方阵，且满秩。如果输入的矩阵不是方阵或者不是满秩的，可能会出现计算错误。

不用python自带的qr函数，先做QR分解再求逆矩阵

好的，我们可以结合上面两个回答的内容，手动实现 QR 分解和求逆矩阵的过程。下面是 Python 代码实现：

import numpy as np

def qr_decomposition(matrix):
    m, n = matrix.shape
    Q = np.zeros((m, n))
    R = np.zeros((n, n))

    for j in range(n):
        v = matrix[:, j]
        for i in range(j):
            R[i, j] = np.dot(Q[:, i], matrix[:, j])
            v = v - R[i, j] * Q[:, i]
        R[j, j] = np.linalg.norm(v)
        Q[:, j] = v / R[j, j]

    return Q, R

def inverse(matrix):
    # 对矩阵进行 QR 分解
    Q, R = qr_decomposition(matrix)

    # 求 R 的逆矩阵
    R_inv = np.zeros_like(R)
    for i in range(R.shape[0]):
        R_inv[i, i] = 1 / R[i, i]
        for j in range(i+1, R.shape[0]):
            R_inv[i, j] = - R_inv[i, i] * np.dot(R[i, i:j], R_inv[i:j, j])

    # 求逆矩阵 A^-1 = R^-1 * Q^T
    A_inv = np.dot(R_inv, Q.T)

    return A_inv

这里的 `qr_decomposition` 函数实现了手动计算 QR 分解的过程，返回的是 Q 矩阵和 R 矩阵。`inverse` 函数则实现了对矩阵求逆的过程，返回的是矩阵的逆矩阵。需要注意的是，这里默认输入的矩阵 A 是方阵，且满秩。如果输入的矩阵不是方阵或者不是满秩的，可能会出现计算错误。