schmidt正交化matlab代码-apce

Schmidt正交化是一种基于向量内积的操作，可以将给定的向量集合转换为一个正交基向量集合。Matlab代码实现如下：

function [Q, R] = apce(A)
% 使用 Schmidt正交化算法，将A中的向量进行正交化
% 输出正交基Q和上三角矩阵R，使得A = QR
% A：向量集合，每个向量代表一列
% Q：正交基向量集合
% R：上三角矩阵

[m, n] = size(A);
Q = zeros(m, n);
R = zeros(n, n);

for j = 1:n
v = A(:, j);
for i = 1:j-1
R(i, j) = Q(:, i)' * A(:, j);
v = v - R(i, j) * Q(:, i);
end
R(j, j) = norm(v);
Q(:, j) = v / R(j, j);
end

end

代码中的输入参数A是一个$m \times n$的矩阵，每一列代表一个向量。算法迭代地计算正交基Q和上三角矩阵R，其中Q的列向量正交，R是一个上三角矩阵。迭代的方式是每次处理一个列向量，并且依次处理前面已经处理过的向量。对于每个向量，计算它在前面的正交基中的投影，并将这个投影从原向量中减去，得到新的正交向量。求解上三角矩阵R的对角元素时，使用了向量的二范数。最终得到的Q和R满足$A = QR$的关系。