推导TM模式的磁场和电场分布

TM模式是一种纵向电磁波模式，它的电场和磁场都是横向的，垂直于波传播方向。在无限长的导体波导中，TM模式的磁场和电场分布可以通过以下步骤进行推导：

1. 假设波导的横截面为矩形，长为a，宽为b，波导内部填充介质的相对介电常数为εr。

2. 假设TM模式的电场分量为Ey(x,y)，磁场分量为Hz(x,y)，其中x和y分别表示波在矩形横截面内的两个方向。

3. 根据麦克斯韦方程组，可以得到TM模式的磁场和电场分别满足以下波动方程：

∂2Ey/∂x2 + ∂2Ey/∂y2 + k2εrEy = 0

∂2Hz/∂x2 + ∂2Hz/∂y2 + k2εrHz = 0

其中k表示波数，k=2π/λ，λ为波长。

4. 假设TM模式在波导内的传播方向为z轴方向，可以把横截面内的电场和磁场分别表示为：

Ey(x,y) = Re[ey(x,y)exp(-jβz)]

Hz(x,y) = Re[hz(x,y)exp(-jβz)]

其中Re表示实部，β为传播常数，可以通过解波动方程得到。

5. 把电磁场分量代入波动方程中，可以得到以下两个二阶偏微分方程：

∂2ey/∂x2 + ∂2ey/∂y2 + (k2εr - β2)ey = 0

∂2hz/∂x2 + ∂2hz/∂y2 + (k2εr - β2)hz = 0

6. 根据波导的边界条件，可以得到电场和磁场在波导边界上的边界条件：

- 对于电场：在矩形横截面的四个边界上，Ey(x,y)的法向分量为0。
- 对于磁场：在矩形横截面的四个边界上，Hz(x,y)的切向分量为0。

7. 根据边界条件，可以得到电场和磁场的解析解，并进一步得到它们的分布规律。

具体来说，对于磁场Hz(x,y)，它在矩形横截面内的分布规律可以表示为：

Hz(x,y) = A sin(mπx/a)sin(nπy/b)

其中A为常数，m和n为正整数，它们的取值决定了Hz(x,y)的分布模式。

类似地，对于电场Ey(x,y)，它在矩形横截面内的分布规律可以表示为：

Ey(x,y) = B sin(mπx/a)sin(nπy/b)

其中B为常数，m和n为正整数，它们的取值也决定了Ey(x,y)的分布模式。

需要注意的是，不同的TM模式有不同的分布模式，即不同的m和n取值。具体的分布模式可以通过求解波动方程和边界条件来得到。