戎解证明题2:求解递推方程并证明结论 证明T(n)=T([n/2])+1的解是O(logn)(注:不能直接使用 主定理)。
时间: 2024-02-02 20:03:07 浏览: 241
我们可以通过数学归纳法来证明递推方程T(n) = T([n/2]) + 1的解是O(logn)。
首先,我们需要证明基本情况,即 n = 1 时,T(n) = T(0) + 1 = 1,因此,结论成立。
接下来,我们假设对于所有的 k < n,结论都成立,即 T(k) ≤ clogk,其中 c 是一个常数。我们需要证明当 n 时,结论也成立,即 T(n) ≤ clogn。
根据递推式,我们有T(n) = T([n/2]) + 1。由于 [n/2] ≤ n/2,根据归纳假设,我们有 T([n/2]) ≤ clog(n/2)。因此,T(n) ≤ clog(n/2) + 1 = clogn - clog2 + 1。由于 log2 = 1,我们得到 T(n) ≤ clogn。
因此,根据数学归纳法,我们证明了递推方程T(n) = T([n/2]) + 1的解是O(logn)。
相关问题
求解证明题1:求解递推方程并证明结论 求 丁(n)=2T(n/2)+n/logn 的解,
### 回答1:
首先,我们可以将这个式子写成递归形式:
求解时间复杂度为 T(n) = 2T(n/2) + n/log(n) 的问题。
接下来,我们可以使用主定理来求解这个递归式的时间复杂度。
主定理的一般形式是:T(n) = aT(n/b) + f(n),其中 a ≥ 1,b > 1,f(n) 是一个非负函数。
根据主定理,我们可以将 T(n) 的时间复杂度分为以下三种情况:
1. 如果 f(n) = O(n^c) 且 a < b^c,则 T(n) = Θ(n^c)。
2. 如果 f(n) = Θ(n^c log^k(n)),则 T(n) = Θ(n^c log^(k+1)(n))。
3. 如果 f(n) = Ω(n^c) 且 a > b^c,则 T(n) = Θ(f(n))。
根据上述情况,我们可以得到:
- a = 2,b = 2,f(n) = n/log(n),因此,c = log2(2) = 1,k = 0。
- f(n) = Θ(n^c log^k(n)),其中 c = 1,k = 0。
- 因此,根据情况 2,T(n) = Θ(n log(n))。
因此,这个式子的时间复杂度为 Θ(n log(n))。
### 回答2:
首先解递推方程:
根据递推方程 丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn),我们可以将递推式进行展开:
丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn)
= 2 * (2T(n/4) / ((n/2)/(log(n/2))))
= 2² * T(n/4) / ((n/2)/(log(n/2)))²
= 2³ * T(n/8) / ((n/4)/(log(n/4)))³
= ...
= 2^k * T(n/2^k) / ((n/2^k)/(log(n/2^k)))^k
其中,k = logn。
当 n/2^k = 1 时,即 n = 2^k,我们得到 k = logn,意味着到达基本情况。
当 n/2^k = 1,即 n = 2^k,将其代入上述公式,得到:
丁(n) = 2^k * T(1) / (1/(log(1)))^k
= 2^k * T(1) / (1/0)^k (0 的对数是无穷大)
= 2^k * T(1) / 0^k
因为 0 的 k 次方也是无穷大,所以这个递推方程没有明确的解。
综上所述,无法求解递推方程丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn) 的解。
### 回答3:
要证明丁(n) = 2T(n/2) n/logn的解,首先需要解递推方程丁(n) = 2T(n/2)。
根据递推方程的定义,丁(n) 的值取决于 2T(n/2)。而T(n/2) 的值又取决于 2T(n/4),以此类推。
假设对于一个特定的K,有丁(2^K) = 2T(2^(K-1))。将这个假设代入递推方程中,我们有:
丁(2^K) = 2T(2^(K-1)) = 2*(2T(2^(K-1)/2)) = 2*(2T(2^(K-2)))
继续代入递推方程中,我们可以得到:
丁(2^K) = 2*(2*(2T(2^(K-2)/2))) = 2*(2*(2T(2^(K-3))))
继续推导下去,我们可以得到:
丁(2^K) = 2*(2*(2*...*(2*T(1)))) = 2^K * T(1)
其中,有K个2相乘。
又因为丁(1) = T(1) = 1/log(1),所以我们可以推断出:
丁(n) = 2^(logn) * T(1) = n * T(1) = n/logn
所以可以得出结论,丁(n) = 2T(n/2) n/logn 的解为 n/logn。
求解证明题1:求解递推方程并证明结论 求 丁(n)=2T(n/2)+n/logn 的解,并用代入归纳法证明。
### 回答1:
题目描述:
求解 T(n) = 2T(n/2) + n/logn,同时用代入归纳法证明解的正确性。
解答:
我们可以使用代入归纳法来求解此递归式。
当 n = 1 时,T(1) = 2T(1/2) + 1/log1 = 2T(1/2),即 T(1) = Θ(1)。
现假设对于所有的 m < n,都有 T(m) = Θ(m log m)。
那么对于 n,我们有:
T(n) = 2T(n/2) + n/logn
= 2(Θ((n/2) log(n/2))) + n/logn (根据归纳假设)
= Θ(n log(n/2)) + n/logn
= Θ(n logn - n) + n/logn
= Θ(n logn)
因此,T(n) 的解为 Θ(n logn)。接下来,我们使用代入归纳法证明此解的正确性。
当 n = 1 时,T(1) = Θ(1) = Θ(1 log 1)。假设对于所有的 m < n,都有 T(m) = Θ(m log m)。那么对于 n,我们有:
T(n) = 2T(n/2) + n/logn
= 2Θ((n/2) log(n/2)) + n/logn
= Θ(n log(n/2)) + n/logn
= Θ(n logn - n) + n/logn
= Θ(n logn)
因此,对于所有的 n,T(n) = Θ(n logn),证毕。
### 回答2:
为了求解递推方程丁(n)=2T(n/2) n/logn,首先我们需要了解递推方程和代入归纳法的基本概念。
递推方程是指通过已知的初始条件,利用递推关系式逐步计算出待求解的数列或函数值的一种方程。而代入归纳法是一种数学论证方法,通过将待证结论代入到递推关系式中,并基于已证明的初始条件来逐步验证结论是否成立。
对于递推方程丁(n)=2T(n/2) n/logn,我们可以先观察到这是一个递归定义问题,其中丁(n)是一个函数,而T(n)是其中的一个子问题。
假设n是2的k次方,即n = 2^k,其中k是非负整数。可以推导出n/2 = 2^(k-1),进而我们可以将递推关系式改写为:
丁(n)=2T(2^(k-1))
将T(2^(k-1))用类似的方式展开,我们有:
T(2^(k-1))=2T(2^(k-1-1))
继续展开,我们得到:
T(2^(k-1-1))=2T(2^(k-1-1-1))
以此类推,最终可以得到:
丁(n)=2^k * T(1)
其中T(1)是递归关系的初始条件。
我们知道,n=log(2^k)=klog2,所以原问题可以改写为:
丁(n) = 2^(n/logn) * T(1)
接下来,我们将使用代入归纳法来证明这个结论。
代入归纳法分为两个步骤:基本步骤和归纳步骤。
基本步骤:当n等于1时,根据递推方程的定义,丁(1)=2T(1)。这个基本步骤成立。
归纳步骤:假设对于任意的n=k,递推方程丁(k)=2^(k/logk) * T(1)成立。我们来证明对于n=k+1,丁(k+1)=2^((k+1)/log(k+1)) * T(1)成立。
当n=k+1时,根据递推方程的定义,我们有:
丁(k+1) = 2T((k+1)/2)
由于(k+1)/2 <= (k+1),
根据我们在基本步骤中得到的丁(n)=2^(n/logn) * T(1)的结论,
我们可以得到:
2T((k+1)/2) = 2^(k+1/log(k+1)) * T(1)
丁(k+1) = 2^((k+1)/log(k+1)) * T(1)
由此我们可以看出,对于任意的正整数n,递推方程丁(n)=2^(n/logn) * T(1)成立。
综上所述,我们求解了递推方程丁(n)=2T(n/2) n/logn的解,并用代入归纳法证明了结论的正确性。
### 回答3:
首先,我们来求解递推方程丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn) 的解。
根据递推关系,我们可以观察到每次对n进行除以2的操作,而且n是逐渐减小的。因此,我们猜测递推的终止条件是n=1。
当n=1时,代入递推方程中,我们得到:
丁(1) = 2T(1/2) / (1/log1)
由于1/log1的值为0,在不考虑除以0的情况下,我们将递推终止在n=2。
然后,我们用代入归纳法证明结论。
对于n=2时,我们有:
丁(2) = 2T(2/2) / (2/log2)
由于2/2=1,代入递推方程中,我们得到:
丁(2) = 2T(1) / (2/log2)
接下来,假设对于任意的k < n,都有丁(k) = 2T(k/2) / (k/logk) 成立。我们来证明对于n,也满足这个递推关系。
当n=2k时,代入递推方程中,我们得到:
丁(2k) = 2T((2k)/2) / ((2k)/log(2k))
丁(2k) = 2T(k) / ((2k)/log(2k))
丁(2k) = (2/log(2k)) * T(k) / (k/logk)
丁(2k) = 2 * (logk / log(2k)) * T(k) / (k/logk)
丁(2k) = 2T(k) / (k/logk)
由此可见,对于n=2k的情况,递推关系仍然成立。
综上所述,对于任意的n,丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn) 的解满足这个递推方程。
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