设p都是n阶是对称矩阵，则p必有实特征值

对称矩阵一定是正交对角化的，即可以表示为 $P\Lambda P^T$ 的形式，其中 $P$ 是正交矩阵，$\Lambda$ 是对角矩阵。由于 $P$ 是正交矩阵，所以 $P^T = P^{-1}$ 且 $P$ 的列向量构成的集合是正交的。因此，我们可以将 $P$ 的列向量单位化得到一个正交矩阵 $Q$。那么，对于任意一个非零向量 $\mathbf{x}$，有

$$
\mathbf{x}^T P \mathbf{x} = \mathbf{x}^T Q \Lambda Q^T \mathbf{x} = \left(Q^T \mathbf{x}\right)^T \Lambda \left(Q^T \mathbf{x}\right) \geq 0
$$

因为 $\Lambda$ 是对角矩阵，所以它的对角线上的元素都是实数。又因为 $\mathbf{x}^T P \mathbf{x}$ 是一个实数，所以 $\Lambda$ 的对角线上的元素必须都是实数。因此，$P$ 必须有实特征值。

答案：$P$ 必有实特征值。

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设p都是n阶是对称矩阵，则p必有n个实特征值

是的，设 $P$ 是 $n$ 阶对称矩阵，根据谱定理，$P$ 有 $n$ 个特征值，记为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$。由于 $P$ 是对称矩阵，所以它的特征值都是实数。因此，$P$ 有 $n$ 个实特征值。

注意，这里的实特征值指的是特征值为实数，而不是特征向量为实向量。对于一个非实矩阵，它可能存在复特征值，但对于对称矩阵，它的特征值一定是实数。

设p都是n阶是对称矩阵，则p必有n个实特征值，这n个特征值不同

是的，设 $P$ 是 $n$ 阶对称矩阵，根据谱定理，$P$ 有 $n$ 个特征值，记为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$。由于 $P$ 是对称矩阵，所以它的特征值都是实数。因此，$P$ 有 $n$ 个实特征值。

接下来我们证明这 $n$ 个特征值是两两不同的。假设存在两个特征值 $\lambda_i$ 和 $\lambda_j$ 使得它们相等，即 $\lambda_i = \lambda_j$。那么，根据特征值的定义，存在非零向量 $\mathbf{v}_i$ 和 $\mathbf{v}_j$ 满足

$$
P \mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i, \quad P \mathbf{v}_j = \lambda_j \mathbf{v}_j, \quad \lambda_i = \lambda_j
$$

由于 $P$ 是对称矩阵，所以 $\mathbf{v}_i$ 和 $\mathbf{v}_j$ 是正交的，即 $\mathbf{v}_i^T \mathbf{v}_j = 0$。那么，

$$
\begin{aligned}
(\mathbf{v}_i + \mathbf{v}_j)^T P (\mathbf{v}_i + \mathbf{v}_j) &= \mathbf{v}_i^T P \mathbf{v}_i + \mathbf{v}_i^T P \mathbf{v}_j + \mathbf{v}_j^T P \mathbf{v}_i + \mathbf{v}_j^T P \mathbf{v}_j \\
&= \lambda_i \mathbf{v}_i^T \mathbf{v}_i + \lambda_i \mathbf{v}_i^T \mathbf{v}_j + \lambda_j \mathbf{v}_j^T \mathbf{v}_i + \lambda_j \mathbf{v}_j^T \mathbf{v}_j \\
&= \lambda_i \|\mathbf{v}_i\|^2 + \lambda_j \|\mathbf{v}_j\|^2 \\
&= 2 \lambda_i \|\mathbf{v}_i\|^2 \\
&> 0
\end{aligned}
$$

因为 $\lambda_i > 0$ 且 $\mathbf{v}_i$ 非零，所以上式大于 $0$，与 $P$ 是对称矩阵矛盾。因此，假设不成立，即 $P$ 的 $n$ 个特征值两两不同。

因此，$P$ 有 $n$ 个不同的实特征值。