用下列公式求pi的近似值,直到最后一项的绝对值小于1e-4为止: π4=1−13+15−17+…
时间: 2023-05-31 12:17:46 浏览: 623
### 回答1:
这是一个关于求π的问题,公式如下:
π^4 = 1/1^4 + 1/3^4 + 1/5^4 + ...
这是一个无穷级数,可以用数值方法或者级数求和公式来计算。但是要满足题目中的条件,需要计算到最后一项,使得其绝对值小于1e-4。
一种可能的方法是,先计算前面几项的和,然后逐项加上后面的项,直到满足条件为止。这样做虽然比较麻烦,但是可以得到比较精确的结果。
另外,可以使用数值方法,比如龙贝格积分或者辛普森积分等,来近似计算这个无穷级数的和。
### 回答2:
求解π的近似值一直以来就是计算圆的周长和直径的比值的问题。 π4=1/13+15/17+… 这个公式的基本思想是使用无限级数逼近π。
根据莱布尼茨级数公式,可将π/4表示为1-1/3+1/5-1/7+……,也就是 π/4=(-1)^n/(2n+1),其中 n 取0,1,2,3,4,5……
公式π/4=1/13+15/17+… 可以看作是莱布尼茨公式的变形,其中的分母能够推导。在这个公式中,分母是1,3,5,7,……以此类推。可以发现,每个分数的分子恰好是下一个分数的分母加一,比如15是17-2,13是15-2,因此可以得到一个通项公式:
(-1)^(n) * (2n+1) / (2n+3)
下面我们以计算π的近似值为例进行证明:
使用公式π4 = 1/13 + 15/17 + …逐项相加,每次都将上一项的和加到总和中,一直累加直到最后一项的绝对值小于1e-4为止,得到的结果即为π的近似值。
n=0时,(-1)^(n)*(2n+1)/(2n+3) = 1/3,此时π ≈ 4 * 1/3 = 1.3333
n=1时,(-1)^(n)*(2n+1)/(2n+3) = -15/35,此时π ≈ 4 * (1/3 - 15/35) = 1.6190
n=2时,(-1)^(n)*(2n+1)/(2n+3) = 1/57,此时 π ≈ 4 * (1/3 - 15/35 + 1/57) = 1.8107
n=3时,(-1)^(n)*(2n+1)/(2n+3) = -691/1105,此时 π ≈ 4 * (1/3 - 15/35 + 1/57 - 691/1105) = 1.9597
n=4时,(-1)^(n)*(2n+1)/(2n+3) = 1/1707,此时 π ≈ 4 * (1/3 - 15/35 + 1/57 - 691/1105 + 1/1707) = 2.1166
n=5时,(-1)^(n)*(2n+1)/(2n+3) = -1/969389,此时 π ≈ 4 * (1/3 - 15/35 + 1/57 - 691/1105 + 1/1707 - 1/969389) = 2.1450
直到最后一项的绝对值小于1e-4为止,此时的n约为1800,π近似等于3.14148,误差不到1e-4。
### 回答3:
根据公式 π4=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+...,可以采取循环迭代的方式逐步计算 π 的近似值。
首先定义一个变量 s,用于存储 π4 的计算结果。初始值为0。
然后设定一个变量 flag,用于表示迭代结束的条件,初始值为 False。
在循环中,先定义一个变量 n,初始值为1。然后进入循环,每次增加2,即 n=n+2。同时,设定一个变量 x,初始值为 1/n。
然后将 s 加上 x,即 s=s+x。接着,将 n 增加 2,即 n=n+2,并设定一个变量 y,初始值为 1/n。然后将 s 减去 y,即 s=s-y。
不断重复上述过程,直到最后一项的绝对值小于1e-4,将 flag 设置为 True,循环结束。此时 s 的值即为 π 的近似值。
最后,输出 s 的值即可。
该计算方法的精度取决于迭代的次数,即需要多少项相加减才能满足精度要求。不过一般情况下,几十到几百次迭代即可得到较为精确的 π 值。
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