算法导论 习题24.2-4 & 24.3-6 单源最短路径问题

好的，这是两个问题。让我分别回答。

---

对于习题24.2-4，我们需要证明：对于有向图$G=(V,E)$，从源点$s$到任何其他点$v\in V$的最短路径上最多可以包含$|V|-1$条边。

我们可以使用反证法来证明这个结论。假设存在一条从$s$到$v$的最短路径包含了$|V|$条边。由于这是一条简单路径，所以它经过了$|V|$个顶点中的所有顶点。因此，这个路径形成了一个简单环。我们可以从这个简单环中删除任意一条边，得到一条从$s$到$v$的路径，路径长度比原来的最短路径长度更小，这与原来的最短路径的假设相矛盾。因此，假设不成立，结论得证。

---

对于习题24.3-6，我们需要证明：如果负权重有向图$G$中不存在从源点$s$可达的负权重环，则Bellman-Ford算法能够正确地计算出从$s$到所有其他顶点的最短路径。

我们可以使用反证法来证明这个结论。假设存在一个从$s$到$v$的最短路径上存在一个负权重环。由于负权重环的存在，我们可以通过不断绕这个环走来无限制地减小路径长度，因此不存在从$s$到$v$的最短路径。但是，Bellman-Ford算法会在第$|V|$次松弛操作之前终止，并且在第$i$次松弛操作之后，算法会计算出从$s$到所有距离$s$不超过$i$的顶点的最短路径。因此，我们可以得出结论：如果负权重有向图$G$中不存在从源点$s$可达的负权重环，则Bellman-Ford算法能够正确地计算出从$s$到所有其他顶点的最短路径。