对lorenz数据进行相空间重构

Lorenz系统是一种经典的混沌系统，其三维动力学方程为：

dx/dt = σ(y - x)
dy/dt = x(ρ - z) - y
dz/dt = xy - βz

其中，`x`、`y`、`z` 是系统的状态变量，`σ`、`ρ`、`β` 是系统的参数。我们可以通过数值模拟来获得 Lorenz 系统的状态变化轨迹，然后对该轨迹进行相空间重构。

以下是使用 Python 对 Lorenz 系统进行相空间重构的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Lorenz系统参数
sigma = 10
rho = 28
beta = 8/3

# 数值模拟Lorenz系统
def lorenz_system(x0, y0, z0, sigma, rho, beta, dt, steps):
    xs = np.zeros(steps+1)
    ys = np.zeros(steps+1)
    zs = np.zeros(steps+1)
    xs[0], ys[0], zs[0] = x0, y0, z0
    for i in range(steps):
        dx = sigma * (ys[i] - xs[i])
        dy = xs[i] * (rho - zs[i]) - ys[i]
        dz = xs[i] * ys[i] - beta * zs[i]
        xs[i+1] = xs[i] + dt*dx
        ys[i+1] = ys[i] + dt*dy
        zs[i+1] = zs[i] + dt*dz
    return xs, ys, zs

# 进行相空间重构
def cc_reconstruction(x, y, z, r):
    # 计算距离矩阵
    d = np.sqrt((x - x[:, np.newaxis])**2 + (y - y[:, np.newaxis])**2 + (z - z[:, np.newaxis])**2)
    # 计算相空间重构矩阵
    cc_matrix = 0.75 * (1 - (d / r) ** 2)
    # 矩阵元素取绝对值
    cc_matrix[cc_matrix < 0] = 0
    # 返回相空间重构矩阵
    return cc_matrix

# 初始状态变量
x0, y0, z0 = 1, 1, 1
# 数值模拟参数
dt = 0.01
steps = 10000
# 进行数值模拟
xs, ys, zs = lorenz_system(x0, y0, z0, sigma, rho, beta, dt, steps)
# 进行相空间重构
r = 0.1
cc_matrix = cc_reconstruction(xs, ys, zs, r)

# 绘制 Lorenz 系统状态变化轨迹
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(xs, ys, zs, color='gray', linewidth=0.5)
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Lorenz system')

# 绘制相空间重构图
fig2 = plt.figure()
plt.imshow(cc_matrix, cmap='gray_r')
plt.axis('off')
plt.title('CC reconstruction')
plt.show()

在上述代码中，我们首先使用 `lorenz_system` 函数对 Lorenz 系统进行数值模拟，得到状态变化轨迹。然后使用 `cc_reconstruction` 函数对该轨迹进行相空间重构，得到相空间重构矩阵 `cc_matrix`。最后，我们绘制出 Lorenz 系统的状态变化轨迹和相空间重构图。运行该代码，可以得到以下结果：


可以看到，相空间重构后的图像展现了 Lorenz 系统的混沌特征。