3.设∞运算为 Q 上的二元运算,x, y∈Q, x∞y = x+y+6xy, 求 (1) ∞运算是否满足交换和结合律? 说明理由.(4分) (2) 求∞运算的单位元､零元和所有可逆元. (6分)

(1) 首先验证交换律：对于任意的 $x,y\in Q$，有 $x\inf y=y\inf x$ 吗？

$$
\begin{aligned}
x\inf y &= x+y+6xy \\
y\inf x &= y+x+6yx
\end{aligned}
$$

比较两式可得：$x\inf y = y\inf x$ 成立。

接下来验证结合律：对于任意的 $x,y,z\in Q$，有 $(x\inf y)\inf z=x\inf(y\inf z)$ 吗？

$$
\begin{aligned}
(x\inf y)\inf z &= (x+y+6xy)\inf z \\
&= (x+y+6xy)+z+6(x+y+6xy)z \\
&= x+y+z+6xy+6xz+6yz+36xyz \\
x\inf(y\inf z) &= x\inf(y+z+6yz) \\
&= x+(y+z+6yz)+6x(y+z+6yz) \\
&= x+y+z+6xy+6xz+6yz+36xyz
\end{aligned}
$$

因此，$(x\inf y)\inf z=x\inf(y\inf z)$ 成立，$\inf$ 运算满足交换律和结合律。

(2) 首先求解单位元：设 $e$ 是 $\inf$ 运算的单位元，则对于任意 $x\in Q$，都有 $x\inf e = e\inf x = x$。

$$
\begin{aligned}
x\inf e &= x+e+6xe=x \\
e\inf x &= e+x+6ex=x
\end{aligned}
$$

解得 $e=0$，即 $\inf$ 运算的单位元为 $0$。

接下来求解零元：设 $z$ 是 $\inf$ 运算的零元，则对于任意 $x\in Q$，都有 $x\inf z = z\inf x = z$。

$$
\begin{aligned}
x\inf z &= x+z+6xz=z \\
z\inf x &= z+x+6zx=z
\end{aligned}
$$

解得 $z=-\frac{1}{6}$，即 $\inf$ 运算的零元为 $-\frac{1}{6}$。

最后求解可逆元：设 $y$ 是 $\inf$ 运算的可逆元，则存在另一个元素 $y^{-1}$，使得 $y\inf y^{-1}=y^{-1}\inf y=0$。

$$
\begin{aligned}
y\inf y^{-1} &= y+y^{-1}+6yy^{-1}=0 \\
y^{-1}\inf y &= y^{-1}+y+6y^{-1}y=0
\end{aligned}
$$

解得 $y^{-1}=-\frac{1}{6(y+1)}$。注意，当 $y=-1$ 时，分母为 $0$，$-\frac{1}{6(y+1)}$ 没有定义，因此 $-1$ 不是 $\inf$ 运算的可逆元。

综上，$\inf$ 运算的单位元为 $0$，零元为 $-\frac{1}{6}$，可逆元为 $Q\backslash\{-1\}$ 中的所有元素。