用c++的方式设计算法求解和恰好为 k 的元素个数最小的解。给定若干个正整数 a0、 a1 、…、an-1 ，从中选出若干数，使它们的和恰好为 k，要求找选择元素个数最 少的解。（问题设定：n=5; k=10）利用回溯法求解，并输出问题解。并写出实验分析

算法设计：

1. 定义一个数组表示每个数是否选择（0表示未选择，1表示已选择），初始化为0；

2. 从第一个数开始，尝试将其选择，然后递归到下一个数；

3. 如果当前数不能选择，则回溯到上一个数，尝试不选择当前数，继续递归；

4. 如果找到一种解，则更新最小的选择数，并保存当前解；

5. 如果所有数都已经尝试过，则返回最小的选择数。

C++代码实现：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

const int MAXN = 5;  // 数字个数
const int K = 10;    // 目标和

int num[MAXN] = {1, 2, 3, 4, 5};  // 数组
vector<int> ans;                  // 最优解
int sel[MAXN] = {0};              // 选择情况

int min_count = MAXN + 1;         // 最小选择数

void search(int i, int sum, int count)
{
    if (sum == K) {
        if (count < min_count) {
            min_count = count;
            ans.clear();
            for (int j = 0; j < MAXN; j++) {
                if (sel[j] == 1) {
                    ans.push_back(num[j]);
                }
            }
        }
        return;
    }
    if (i == MAXN) {
        return;
    }
    if (count + 1 >= min_count) {
        return;  // 剪枝，如果当前选择数已经大于最小选择数，则返回
    }
    sel[i] = 1;   // 尝试选择第 i 个数
    search(i + 1, sum + num[i], count + 1);
    sel[i] = 0;   // 回溯，不选择第 i 个数
    search(i + 1, sum, count);
}

int main()
{
    search(0, 0, 0);
    if (min_count == MAXN + 1) {
        cout << "无解" << endl;
    } else {
        cout << "最小选择数为：" << min_count << endl;
        cout << "方案为：";
        for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
            cout << ans[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

实验分析：

在本题中，回溯法的时间复杂度为指数级别，随着数字个数的增加，算法的运行时间将会急剧增加。因此，对于数字个数较大的情况，需要采用其他优化算法，如动态规划、贪心算法等。同时，可以通过剪枝等技巧优化回溯算法的性能。