离散序列1 1 1 0 0 0 0 1 1 1的傅立叶变换

给定离散序列 $x[n] = \{1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1\}$，傅立叶变换是将其转换为一组复数序列 $X[k]$。离散傅立叶变换（DFT）的公式如下：

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1$$

其中，$N$ 是序列的长度。将序列 $x[n]$ 带入公式中，得到：

$$\begin{aligned} X[0] &= 1+1+1+0+0+0+0+1+1+1 = 6 \\ X[1] &= 1+e^{-j2\pi/10}+e^{-j4\pi/10}+0+0+0+0+e^{-j16\pi/10}+e^{-j18\pi/10}+e^{-j20\pi/10} \approx -0.29 + 1.32j \\ X[2] &= 1+e^{-j4\pi/10}+e^{-j8\pi/10}+0+0+0+0+e^{-j32\pi/10}+e^{-j36\pi/10}+e^{-j40\pi/10} \approx -1.5 + 0.87j \\ X[3] &= 1+e^{-j6\pi/10}+e^{-j12\pi/10}+0+0+0+0+e^{-j48\pi/10}+e^{-j54\pi/10}+e^{-j60\pi/10} \approx 0.29 - 0.32j \\ X[4] &= 1+e^{-j8\pi/10}+e^{-j16\pi/10}+0+0+0+0+e^{-j64\pi/10}+e^{-j72\pi/10}+e^{-j80\pi/10} \approx -1.5 - 0.87j \\ X[5] &= 1+e^{-j10\pi/10}+e^{-j20\pi/10}+0+0+0+0+e^{-j80\pi/10}+e^{-j90\pi/10}+e^{-j100\pi/10} \approx -0.29 - 1.32j \\ X[6] &= 1+e^{-j12\pi/10}+e^{-j24\pi/10}+0+0+0+0+e^{-j96\pi/10}+e^{-j108\pi/10}+e^{-j120\pi/10} \approx 0.29 + 0.32j \\ X[7] &= 1+e^{-j14\pi/10}+e^{-j28\pi/10}+0+0+0+0+e^{-j112\pi/10}+e^{-j126\pi/10}+e^{-j140\pi/10} \approx 1.5 - 0.87j \\ X[8] &= 1+e^{-j16\pi/10}+e^{-j32\pi/10}+0+0+0+0+e^{-j128\pi/10}+e^{-j144\pi/10}+e^{-j160\pi/10} \approx 1.5 + 0.87j \\ X[9] &= 1+e^{-j18\pi/10}+e^{-j36\pi/10}+0+0+0+0+e^{-j144\pi/10}+e^{-j162\pi/10}+e^{-j180\pi/10} \approx -1.5 + 0.87j \end{aligned}$$

因此，离散序列 $x[n]$ 的傅立叶变换为 $X[k] = \{6, -0.29 + 1.32j, -1.5 + 0.87j, 0.29 - 0.32j, -1.5 - 0.87j, -0.29 - 1.32j, 0.29 + 0.32j, 1.5 - 0.87j, 1.5 + 0.87j, -1.5 + 0.87j\}$。