matlab蒙特卡洛计算圆周率并且绘制随n值增加的误差图

实现蒙特卡洛方法计算圆周率，可以通过在正方形内随机生成点，并计算落入圆内的点数，从而估计圆周率。具体实现如下：

n = 10000; % 生成点的个数
x = rand(n,1)*2-1; % 在正方形内随机生成x坐标
y = rand(n,1)*2-1; % 在正方形内随机生成y坐标
d = x.^2 + y.^2; % 计算每个点到原点的距离的平方
count = sum(d<=1); % 统计落在圆内的点的个数
pi_est = 4*count/n; % 估计圆周率

为了绘制随n值增加的误差图，我们可以将上述代码封装成一个函数，并在主函数中循环调用该函数，同时记录每次估计的圆周率和误差值。具体实现如下：

function [pi_est, err] = monte_carlo_pi(n)
    x = rand(n,1)*2-1;
    y = rand(n,1)*2-1;
    d = x.^2 + y.^2;
    count = sum(d<=1);
    pi_est = 4*count/n;
    err = abs(pi_est - pi);
end

n_list = [10, 100, 1000, 10000, 100000]; % 生成点的个数列表
pi_list = zeros(size(n_list)); % 估计的圆周率列表
err_list = zeros(size(n_list)); % 误差列表
for i = 1:length(n_list)
    [pi_list(i), err_list(i)] = monte_carlo_pi(n_list(i));
end

figure;
plot(n_list, err_list);
xlabel('n');
ylabel('error');
title('Monte Carlo Estimation of Pi');

运行该脚本，即可得到随n值增加的误差图。其中，横轴为生成点的个数n，纵轴为估计值与真实值之间的误差。可以看出，随着n值的增加，误差逐渐减小，符合蒙特卡洛方法的收敛性质。

注：上述代码中的pi为MATLAB内置的圆周率常数。