请帮我写一段 拉格朗日线性插值多项式的python代码

好的，以下是拉格朗日线性插值多项式的Python代码：

def lagrange_interpolation(x, y, val):
    n = len(x)
    result = 0
    for i in range(n):
        term = y[i]
        for j in range(n):
            if i != j:
                term *= (val - x[j]) / (x[i] - x[j])
        result += term
    return result

其中 x 是已知点的 x 坐标列表，y 是已知点的函数值列表，val 是需要插值的值。该函数返回插值得到的结果。

希望这能帮到您！

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拉格朗日多项式插值法python

拉格朗日多项式插值法是一种数值分析技术，用于通过给定数据点估算未知函数的值。在Python中，可以利用numpy库中的函数来实现这个算法。以下是基本步骤：

1. 定义数据点：一组已知的x坐标和对应的y坐标，比如(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)。

2. 使用拉格朗日基础多项式公式构建插值多项式。每个基础多项式L_i(x)由第i个数据点的x值和其他所有点的x值之差确定，并乘以其对应的y值作为系数。

3. 插值多项式就是这些基础多项式的线性组合：P(x) = Σ(yi * L_i(x))，其中Σ表示对所有i求和。

4. 使用numpy的linalg.solve()函数，提供一个线性方程组，该方程组基于拉格朗日基底表达式来找到插值多项式的系数。

下面是一个简单的示例代码：

import numpy as np

def lagrange_interpolate(points, x):
    # points格式为[(x0, y0), (x1, y1), ...]
    lags = [np.prod([(x - xi) / (pj - xi) for xi, pj in zip(points[:i], points[i+1:])]) for i in range(len(points))]
    return np.sum([y * l for x, y, l in zip(points, points[:, 1], lags)])

# 示例使用
points = [(0, 0), (1, 1), (2, 4)]
x_to_interpolate = 1.5
interpolated_value = lagrange_interpolate(points, x_to_interpolate)
print(f"插值后的值 at {x_to_interpolate} 是: {interpolated_value}")

2、针对函数，在区间上，取个等距节点，构造拉格朗日插值多项式，并通过作图方式给出及一系列拉格朗日插值多项式，观察Runge现象。 3、在第二题基础上，尝试用分段线性插值来进行逼近，并作图观察逼近效果。

2、假设函数为$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，在区间$[-5,5]$上取$n$个等距节点，构造拉格朗日插值多项式。

代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def f(x):
    return 1 / (1 + x ** 2)

# 定义拉格朗日插值多项式
def Lagrange(x, y, u):
    n = len(x)
    result = 0
    for i in range(n):
        temp = y[i]
        for j in range(n):
            if j != i:
                temp *= (u - x[j]) / (x[i] - x[j])
        result += temp
    return result

# 取等距节点
n = 10
x = np.linspace(-5, 5, n)
y = f(x)

# 构造插值多项式
u = np.linspace(-5, 5, 1000)
L = Lagrange(x, y, u)

# 绘制函数图像和插值多项式图像
plt.plot(u, f(u), label="f(x)")
plt.plot(u, L, label="Lagrange")
plt.scatter(x, y, color="red")
plt.legend()
plt.show()

结果：


从图中可以看出，当节点数增多时，插值多项式在两侧的误差越来越大，这就是Runge现象。

3、在第二题基础上，尝试用分段线性插值来进行逼近，并作图观察逼近效果。

代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def f(x):
    return 1 / (1 + x ** 2)

# 定义分段线性插值函数
def Linear(x, y, u):
    n = len(x)
    if u < x[0]:
        return y[0]
    elif u > x[n-1]:
        return y[n-1]
    else:
        for i in range(n-1):
            if u >= x[i] and u <= x[i+1]:
                return y[i] + (y[i+1] - y[i]) * (u - x[i]) / (x[i+1] - x[i])

# 取等距节点
n = 10
x = np.linspace(-5, 5, n)
y = f(x)

# 构造插值函数
u = np.linspace(-5, 5, 1000)
L = [Linear(x, y, i) for i in u]

# 绘制函数图像和插值多项式图像
plt.plot(u, f(u), label="f(x)")
plt.plot(u, L, label="Linear")
plt.scatter(x, y, color="red")
plt.legend()
plt.show()

结果：


从图中可以看出，分段线性插值对于这个函数的逼近效果相对较好，没有出现Runge现象。但是，如果取的节点数过少，仍然会出现较大的误差。